Здравствуйте, fellower!

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины представляет собой сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. В нашем случае M(X) = 1 ∙ 0.3 + 2 ∙ 0,25 + 6 ∙ 0,35 + 8 ∙ 0,1 = 3,7.

Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. В нашем случае Mo(X) = 6.

2. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь четыре детали из восьми, то есть C₈⁴ = 8!/((8 - 4)!4!) = 8!/(4!4!) = 70 способов.

Найдём число исходов, благоприятствующих тому, что среди четырёх вынутых деталей ровно одна окрашенная. Одну окрашенную деталь можно взять из пяти C₅¹ = 5!/((5 - 1)!1!) = 5!/(4!1!) = 5 способами. При этом остальные
4 - 1 = 3 детали из 8 - 5 = 3 деталей можно взять C₃³ = 3!/((3 - 3)!3!) = 3!/(0!3!) = 1 способом. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно C₅¹ ∙ C₃³ = 5 ∙ 1 = 5.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу возможных исходов: P = 5/70 = 1/14 ≈ 0,0714.

С уважением.

Здравствуйте, fellower!
Предлагаю решение задачи 2.
Применим классическое определение вероятности, согласно которому вероятность P(A) события A равна отношению числа случаев m, благоприятствующих событию A, к общему числу случаев n: P(A)=m/n.
Пусть A - событие, заключающееся в том, что из 4-х деталей выбранных сборщиком одна деталь будет окрашена.
Для данной задачи число всех случаев n - это число всех возможных способов выбора из 8 предметов (деталей) 4-х предметов. Это число равно числу сочетаний 4-х деталей из 8. Это число обозначается С₈⁴=8!/(4!4!). В нашем случае n=С₈⁴=70.
Число благоприятствующих случаев - это число таких выборов 4-х деталей из восьми, чтобы в этом наборе обязательно присутствовала одна окрашенная деталь. Очевидно, что это число можно подсчитать таким образом: так как набор должен содержать окрашенную деталь, то она должна выбираться из 5 окрашенных. Это дает С₅¹=5!/(4!*1!)=5 способов. С каждым таким способом может быть скомбинирован способ выбора остальных 3-х неокрашенных деталей, которые, естественно, выбираются из неокрашенных деталей, которых всего 3. Это дает число способов, равное С₃³=3!/(3!*0!)=1.
Таким образом, получаем P(A)=(5*1)/70=1/14.
Подробности можно выяснить в мини-форуме.
С уважением

Здравствуйте, fellower!
3) Речь идет о распределении Пуассона, величина x пробегает множество неотрицательных целых чисел (x=0,1,2,...)
Математическое ожидание
M=[$8721$]_x=0^[$8734$]x*e^-1212^x/x!
Учитывая, что первое слагаемое равно нулю и меняя индекс суммирования на y=x-1, получаем
M=12e^-12[$8721$]_x=1^[$8734$]12^x-1/(x-1)!=12e^-12[$8721$]_y=0^[$8734$]12^y/y!
Принимая во внимание, что
[$8721$]_y=0^[$8734$]12^y/y!=e¹²
получаем
M=12