Здравствуйте, Маша Гришина!

Рассмотрим первое задание.

Решение.

С помощью алгоритма Евклида находим наибольший общий делитель чисел 3800 и 2413:
3800 = 1 • 2413 + 1387;
2413 = 1 • 1387 + 1026;
1387 = 1 • 1026 + 361;
1026 = 2 • 361 + 304;
361 = 1 • 304 + 57;
304 = 5 • 57 + 19;
57 = 3 • 19.
Следовательно, (3800, 2413) = 19.

Поскольку (3800, 2413) = 19 делит -57, постольку заданное уравнение имеет решение в целых числах.

Имеем
19 = 304 – 5 • 57 = 304 – 5 • (361 – 1 • 304) = 6 • 304 – 5 • 361 =
= 6 • (1026 – 2 • 361) – 5 • 361 = 6 • 1026 – 17 • 361 = 6 • 1026 – 17 • (1387 – 1 • 1026) =
= -17 • 1387 + 23 • 1026 = -17 • 1387 + 23 • (2413 – 1 • 1387) = -40 • 1387 + 23 • 2413 =
= -40 • (3800 – 1 • 2413) + 23 • 2413 = -40 • 3800 + 63 • 2413.
Следовательно, -57 = -3 • 19 = 120 • 3800 – 189 • 2413, и x₀ = 120, y₀ = -189 – частное решение заданного уравнения.

Любое другое решение заданного уравнения имеет вид
x = 120 + 2413t/19 = 120 + 127t,
y = -189 – 3800t/19 = -189 – 200t,
где t – целое число.

С уважением.

Здравствуйте, Маша Гришина!
5) Cоставляем базисные многочлены
P₁(x)=47*(x-2)(x-1)(x+1)(x-3)/(2*3*5*1)=(47/30)(x⁴-5x³+5x²+5x-6)
P₂(x)=(-3)*(x-4)(x-1)(x+1)(x-3)/((-2)*1*3*(-1))=-(1/2)(x⁴-7x³+11x²+7x-12)
P₃(x)=2*(x-4)(x-2)(x+1)(x-3)/((-3)*(-1)*2*(-2))=-(1/6)(x⁴-8x³+17x²+2x-24)
P₄(x)=12*(x-4)(x-2)(x-1)(x-3)/((-5)*(-3)*(-2)*(-4))=(1/10)(x⁴-10x³+35x²-50x+24)
P₅(x)=0*(x-4)(x-2)(x-1)(x+1)/((-1)*1*2*4)=0
Искомый многочлен
P(x)=P₁(x)+P₂(x)+P₃(x)+P₄(x)+P₅(x)=x⁴-4x³+3x²-x+3

6) Согласно общей теории, рациональный корень уравнения, представимый несократимой дробью x=m/n удовлетворяет условиям: m - делитель свободного члена (равного -2), n - делитель старшего коэффициента (равного 1). Отсюда следует, что все рациональные корни содержатся в множестве чисел {1,-1,2,-2}. Подстановкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел корнем не является.
Ответ: уравнение рациональных корней не имеет.

Здравствуйте, Маша Гришина!

2. X=[$8730$]254
При представлении числа в виде цепной дроби значения рассчитываются следующим образом:
a₀=[X]; x₀=X-a₀
a₁=[1/x₀]; x₁=1/x₀-a₁
...
a_i=[1/x_i-1]; x_i=1/x_i-1-a_i
...

Т.о., имеем:










На 4-м шаге значение остатка повторило значение остатка нулевого шага, следовательно, период найден.
Т.о., [$8730$]254 = {15; (1, 14, 1, 30)}

5. Запишем условие в следующую таблицу:


Многочлен Лагранжа представляется следующим образом:

, где
Обозначим выражение l_i*y_i как L_i и вычислим многочлен:







Складывая и упрощая, получаем интерполяционный многочлен Лагранжа для заданных условий:


Прямой подстановкой можно убедиться, что он действительно принимает указанные значения в соответствующих точках.

Здравствуйте, Маша Гришина!

4. Числа 40 и 51 взаимно простые. Поэтому 40^51[$8801$]1 mod (51).
По той же причине 23^102=529^51[$8801$]1 mod (51).
Значит 40^23^102[$8801$]40 mod (51)

Здравствуйте, Маша Гришина!

3. Имеем систему сравнений первой степени с взаимно простыми модулями. Для ее решения воспользуемся следующей теоремой.

Пусть имеем систему сравнений x ≡ b[sub]k[/sub] (mod m[sub]k[/sub]), k = 1,…n, где m[sub]1[/sub],…m[sub]n[/sub] - взаимно простые числа и M = m[sub]1[/sub]m[sub]2[/sub]…m[sub]n[/sub]. Пусть существуют такие числа y[sub]k[/sub], k = 1,…n, что (M/M[sub]k[/sub])y[sub]k[/sub] ≡ 1 (mod m[sub]k[/sub]). Тогда множество решений системы определяется сравнением x ≡ Σ(M/M[sub]k[/sub])y[sub]k[/sub]b[sub]k[/sub] (mod M).

В данном случае M = 40·29·39·11 = 497640, M/M[sub]1[/sub] = 29·39·11 = 12441, M/M[sub]2[/sub] = 40·39·11 = 17160, M/M[sub]3[/sub] = 40·29·11 = 12760, M/M[sub]4[/sub] = 40·29·39 = 45240. Имеем систему сравнений

12441y[sub]1[/sub] ≡ 1 (mod 40), 17160y[sub]2[/sub] ≡ 1 (mod 29), 12760y[sub]3[/sub] ≡ 1 (mod 39), 45240y[sub]4[/sub] ≡ 1 (mod 11)

Запишем ее в следующем виде:

(311·40+1)y[sub]1[/sub] ≡ 1 (mod 40), (591·29+21)y[sub]2[/sub] ≡ 1 (mod 29), (327·39+7)y[sub]3[/sub] ≡ 1 (mod 39), (4112·11=8)y[sub]4[/sub] ≡ 1 (mod 11)

Так как am+b ≡ b (mod m), то система примет вид:

y[sub]1[/sub] ≡ 1 (mod 40), 21y[sub]2[/sub] ≡ 1 (mod 29), 7y[sub]3[/sub] ≡ 1 (mod 39), 8y[sub]4[/sub] ≡ 1 (mod 11)

Решая ее, получаем y[sub]1[/sub] = 1, y[sub]2[/sub] = 18, y[sub]3[/sub] = 28, y[sub]4[/sub] = 7, откуда для решения исходной системы будем иметь

x ≡ 12441·1·16+17160·18·6+12760·28·37+45240·7·0 (mod 497640)

или x ≡ 15271696 (mod 497640). Так как 15271626 = 30 · 497640 + 342496, то x ≡ 342496 (mod 497640) и число 342496 является решением системы.

Проверка:

342496 = 40 · 8562 + 16 = 29 · 11810 + 6 = 39 · 8781 + 37 = 11 · 31136 + 0.

7. 4x + 320 = 1202, 4x = 1202 - 320 = 332, x = 332/4 = 43 - все в пятеричной системе. Ответом будет 43[sub]5[/sub] = 23[sub]10[/sub]

8. Частное будет решением сравнения 47x ≡ 44 (mod 81). Так как (47,81) = 1 (47 и 81 - взаимно простые числа), то существует единственное решение. Оно равно 13 (47·13 = 611 = 81·7 + 44).

9. Пусть x = 230/163. Тогда














Таким образом, 230/163 = [1;2,2,3,4,2] = 1 + 1/(2+1/(2+1/(3+1/(4+1/2)))).

10. Полагаю, что деление многочленов в кольце Z/7Z выполняется аналогично обычному делению многочленов с тем лишь отличием, что все коэффициенты должны быть вычетами по модулю 7 и все арифметические операции над коэффициентами должны производиться по правилам для вычетов. Тогда



Здесь 2x[sup]3[/sup] - 3x[sup]3[/sup] = 6x[sup]3[/sup] по правилу вычитания для вычетов по модулю 7. Далее



Здесь тоже используются правила действий для вычетов по модулю 7: 5·3 = 1, 1 - 5 = 3. Наконец,



Здесь аналогично 4·3 = 5, 2 - 5 = 4, 3 - 5 = 5. Итак,



то есть остаток равен 4x[sup]2[/sup]+5x+1.