Здравствуйте, Александр Сергеевич!
При x->2 у Вас неопределенность 0/0. Сделаем замену переменных x-2=t. Тогда t->0, а x=t+2.
sin5pix=sin(10*pi+5*pi*t)=sin(5*pi*t) и при t->0 стремится к нулю, что особенно важно при таком t sin(5*pi*t) эквивалентен 5*pi*t.
Точно также tg6pix=tg(12*pi+6*pi*t)=tg(6*pi*t) и эквивалентен 6*pi*t. Получим lim(t->0)(5*pi*t/6*pi*t)=5/6.

Здравствуйте, Александр Сергеевич!
Первая задача становится очень простой, если вспомнить, что sin(2pi) = sin(0)=0.
Соответственно, cos(2pi)=1 и tg(2pi)=sin(0)=0.
Поэтому вместо исходной задачи в окрестности точки 2pi можно рассмотреть эквивалентную ей задачу в окрестности точки 0:
lim x->0 sin(5x)/sin(6x)= lim x->0 5x/6x = 5/6.

Здравствуйте, Александр Сергеевич!

tg x эквивалентен x ---> tg[$8730$]x эквивалентен [$8730$]x --->tg²[$8730$]x эквивалентен x

sin3x² эквивалентен 3x²
2sin4x эквивалентен 2*4x=8x
поэтому sin3x²-2sin4x эквивалентен 3x²-8x
так как 3x² является величиной более высокого порядка, чем 8x, то sin3x²-2sin4x эквивалентен -8x

Следовательно, f(x) эквивалентна x*(-8x)=-8x², поэтому -8x² и есть главная часть.