Здравствуйте, Посетитель - 351942!
1)
Формула Тэйлора:
e^u=1+u+u²/2+u³/6 (u=4x=0,2)
получаем
e^4x=1+4x+8x²+(32/3)x³=1+0,2+0,02+0,001333=1,22133

Абсолютная погрешность [$916$]=(e^[$958$]/24)u⁴
где 0<[$958$]<u
u=4x=0,2
e^[$958$]<e^u=e^4x=1,221
Таким образом, [$916$]<(1,221/24)(0,2)⁴=0,00008
Относительная погрешность [$948$]=[$916$]/e^4x=0,00008/1,221=0,00007

Здравствуйте, Посетитель - 351942!

2а

Разложим f(x)=ln(cos(2x)) в ряд Тейлора в в. x=п

f(п)=0
f'(x)=(1/cos(2x))*(-sin(2x))*2=-2*tg(2*x)
f'(п)=0
f''(x)=-4/cos²(2x)
f''(п)=-4
f'''(x)=-16*sin(2x)/cos³(2x)
f'''(п)=0
f⁽⁴⁾(x)=-(32+64*sin²(2x))/cos⁴(2x)
f⁽⁴⁾(п)=-32

ln(cos(2x))= (-4/2!)*(x-п)²+(-32/4!)*(x-п)⁴+...=-2*(x-п)²-(4/3)*(x-п)⁴+...

ln(cos(2x))/(1-п/x)²=x²*ln(cos(2x))/(x-п)²

lim_x->пln(cos(2x))/(1-п/x)²=lim x->п x²*(-2*(x-п)²-(4/3)*(x-п)⁴+...)/(x-п)²=lim x->п x²*(-2-(4/3)*(x-п)²+...)=-2*п[sup]2[/sup]


2б

(1+tg²(x))^(1/ln(1+3x²))=exp(ln((1+tg²(x))^(1/ln(1+3x²))))=exp(ln(1+tg²(x))/ln(1+3x²))

Ряд Тейлора для ln(1+x)= x-x²/2+x³/3+...
ln(1+tg²(x))=tg²(x)-tg⁴(x)/2+tg⁶(x)/3+...
ln(1+3x²)=3x²-9x⁴/2+27x⁶/3+...

lim_x->0ln(1+tg²(x))/ln(1+3x²)=lim_x->0(tg²(x)-tg⁴(x)/2+tg⁶(x)/3+...)/(3x²-9x⁴/2+27x⁶/3+...)=lim_x->0(tg²(x)/x²-tg⁴(x)/(2*x⁴)+tg⁶(x)/(3*x⁶)+...)/(3-x²/2+27x⁴/3+...)=1/3
Здесь используется следствие первого замечательного предела
lim_x->0tg(x)/x=1 и lim_x->0(tg(x)/x)ⁿ=1

lim_x->0(1+tg²(x))^(1/ln(1+3x²))=exp(lim_x->0 [ln(1+tg²(x))/ln(1+3x²)])=exp(1/3)