Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 181031
29.11.2010, 22:38
64.05 руб.
0 3 1
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу Вас ответить на следующий вопрос:

1)найти экстремаль, определить max или min ϕ(y)=∫(y'^2)/((x-1)^2) - (2y^2 )/(x(x-1 )^3 )] dx , ( integral от 1/4 до 1/2), y(1/4)=1, y(1/2)=2


2)исследовать устойчивость положений равновесия и нарисовать фазовые кривые в окрестностях положений равновесия x ̈-5x ̇+4x=0 ((d^2x)/(dt^2) -5dx/dt+4x=0" )



пожалуйста помогите

Обсуждение

давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
30.11.2010, 10:03
общий
это ответ
Здравствуйте, Посетитель - 347014!
Решение 1:
Имеем простейший функционал Ф(y)=[$8747$]F(x,y,y')dx. Его экстремали удовлетворяют уравнению Эйлера
Fy-d/dx[Fy']=0
В нашем случае получаем уравнение
(-4y/[x(x-1)3])-d/dx[2y'/(x-1)2]
или после упрощения
x(x-1)y''-2xy'+2y=0
Легко подобрать решение y1=x. Второе решение можно найти, используя формулу Лиувилля для уравнения ay''+by'+cy=0:
(y2/y1)'=[C/y12]exp(-[$8747$](b/a)dx)
В нашем случае получаем y2=x2-2x*ln x-1
Таким образом, общее решение уравнения
y=C1x+C2(x2-2x*ln x-1)

Далее граничные условия дают систему
С1/4+С2(1/16-(1/2)ln1/4-1)=1
С1/2+С2(1/4-ln1/2-1)=2
Заменяя ln1/4=-2ln2, ln1/2=-ln2 и решая систему, находим C1=4, C2=0
Следовательно, экстремаль имеет вид
y=4x

Для исследования на экстремум можно воспользоваться условием Лежандра:
Fy'y'[$8805$]0 ----> min
Fy'y'[$8804$]0 ----> max
В нашем случае Fy'y'=2/(x-2)2>0 поэтому экстремаль реализует минимум.

Решение 2:
5
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
30.11.2010, 10:36
общий
Уточните условие второго примера.
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
30.11.2010, 10:50
общий
В ответ внес решение второй задачи.
Форма ответа