Здравствуйте, vera-nika!
Задача 1. Применим признак Коши. Общий член ряда a_n=(1/3ⁿ)(n/(n+1))^{n^2}
(a_n)^1/n=(1/3)(n/(n+1))^1/n=(1/3)/((1+1/n)ⁿ) ---> 1/(3e)<1
По признаку Коши ряд сходится.

Здравствуйте, vera-nika!

3.
Найдем предел отношения последующего члена последовательности к предыдущему:


Т.о., при ряд сходится.

При имеем либо знакоположительный, либо знакопеременный ряд, абсолютное значение общего члена равно .
При этом , из чего следует, что ряд расходится.

В результате получаем ответ: при ряд сходится абсолютно, при ряд расходится.

Здравствуйте, vera-nika!
4.

Здравствуйте, vera-nika!

Задача 2. Inn , по всей вероятности, означает натуральный логарифм n , то есть, ряд, записанный более аккуратно, имеет вид:
∞
∑ (-1)^n / (n*√ln(n)).
n=2
Если это так, решение приведено ниже.
Ряд сходится, так как он знакочередующийся, и его члены монотонно убывая стремятся к нулю.
Чтобы выяснить, сходится ли этот ряд абсолютно, рассмотрим интеграл
∞
[$8747$]dx/(x*[$8730$]ln(x)).
2
Замена t = ln(x), dt = dx/x приводит к интегралу
∞
[$8747$]dt/[$8730$]t,
ln2
который расходится, поэтому ряд не сходится абсолютно.