Здравствуйте, Мельников Эдуард Сергеевич.


Для определения радиуса сходимости найдём предел

Таким образом радиус сходимости равен e/3
x[$8712$](-e/3; e/3)

Здравствуйте, Мельников Эдуард Сергеевич.

Воспользуемся признаком Даламбера. Поскольку
|a_{n + 1}/a_n| = |3n + 1(n + 1)!x^{n + 1}/(n + 2)^{n + 1} : 3ⁿn!xⁿ/(n + 1)ⁿ| = |3n + 1/3n ∙ (n + 1)!/n! ∙ x^{n + 1}/xⁿ ∙ (n + 1)n/(n + 2)^{n + 1|} =
= |3 ∙ (n + 1) ∙ x ∙ (n + 1)ⁿ/(n + 2)^{n + 1}| = |3 ∙ x ∙ [(n + 1)/(n + 2)]^{n + 1}| = |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]^{n + 1}| =
= |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]^{n + 2} ∙ (1 – 1/(n + 2))^-1| = |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]^{n + 2} ∙ (n + 2)/(n + 1)| =
= |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]^{n + 2} ∙ [1 + 1/(n + 1)]|,
то
L = lim _{n → ∞} |a^{n + 1}/aⁿ| = 3 ∙ |x| ∙ lim _{n → ∞} [1 – 1/(n + 2)]^{n + 2} ∙ lim _{n → ∞} [1 + 1/(n + 1)] =
= 3 ∙ |x| ∙ 1/e ∙ 1 = 3/e ∙ |x|,
или
L < 1 при |x| < e/3,
L = 1 при |x| = e/3,
L > 1 при |x| > e/3.

Следовательно, заданный ряд абсолютно сходится при |x| < e/3, т. е. при –e/3 < x < e/3, и расходится при |x| > e/3.

Установим сходимость ряда при |x| = e/3. Поскольку при n ≥ 2 имеем n! < nⁿ, то становится очевидным, что _{n = 1}Σ^∞ 3ⁿn!xⁿ/(n + 1)ⁿ < _{n = 1}Σ^∞ 3ⁿnⁿxⁿ/(n + 1)ⁿ = _{n = 1}Σ^∞ 3ⁿxⁿ[n/(n + 1)]ⁿ. Рассмотрим поведение ряда _{n = 1}Σ^∞ 3ⁿxⁿ[n/(n + 1)]ⁿ при |x| = e/3.

При x = e/3 получаем ряд _{n = 1}Σ^∞ eⁿ[n/(n + 1)]ⁿ = _{n = 1}Σ^∞ eⁿ[1 – 1/(n + 1)]ⁿ > _{n = 1}Σ^∞ eⁿ[1 – 1/(n + 1)]^{n + 1} > _{n = 1}Σ^∞ 1/n. Следовательно, этот ряд расходится, а потому расходится и заданный ряд.

При x = -e/3 получаем знакочередующийся ряд _{n = 1}Σ^∞ (-1)ⁿeⁿ[n/(n + 1)]ⁿ, который расходится в соответствии с теоремой Лейбница.

Значит, интервал сходимости заданного ряда суть ]-e/3; e/3[.

С уважением.