Здравствуйте, Серый из Саратова.
1) Проверим неравенство при n=1. Оно имеет вид |sin(x1)|<=sin(x1) и очевидно превращается в равенство (так как из условия 0<=x1<=pi следует, что |sin(x1)|=sin(x1)).

2) Предположим, что неравенство справедливо при n=k. Тогда полагая y=x1+...+xk, имеем (учитывая, что |cosx(k+1)|<=1 и |cosy|<=1)
|sin(x1+x2+...+xk+x(k+1))|=|sin(y+x(k+1))|=|siny*cosx(k+1)+cosy*sinx(k+1)|<=|siny*cosx(k+1)|+|cosy*sinx(k+1)|<=|siny|+|sinx(k+1)|
По предположению индукции
|siny|=|sin(x1+x2+...+xk)|<=sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xk)
следовательно,
|siny|+|sinx(k+1)|<=sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xk)+|sinx(k+1)|=sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xk)+sinx(k+1)
(так как 0<=x(k+1)<=pi)
Таким образом,
|sin(x1+x2+...+xk+x(k+1))|<=sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xk)+sinx(k+1)
и утверждение верно также для следующего натурального числа n=k+1. На основании метода математической индукции делаем заключение о справедливости утверждения при всех n.