Здравствуйте, Anjali.
loga(b) * logc(d) = loga(d) * logc(b)
Доказательство основано на таблице логарифмов(в Википедии: Логарифм).
1) Потенцируем по основанию а.
2)переводим один из логарифмов в основание с обоих сторон по свойству a^(log a (b)) = b.
будет b^(log c (d))=d^(log c (b))
3)переводим слева log c (d) к новому основанию b.
b^(log c (d))=d^(1/(log b (c))=d^(log c (b))
По формуле 1/(log b (c)) = (log c (b))


Чтобы хорошо доказывать такие утверждения стоит потренироваться на задачках из какого-нибудь задачника, нужен практический опыт.
(попробуйте найти в сети 1с репетитор математика часть 1).
Успехов!

Приложение:
http://www.alleng.ru/d/math/math133.htm теория и задачи с решения
http://www.alleng.ru/d/math/math100.htm задачи с решениями

http://www.alleng.ru/d/math/math272.htm задачник

Здравствуйте, Anjali.
log_a(b)*log_c(d)=log_a(d)*log_c(b)

Приведем логарифмы с основанием "с" к основанию "a"
log_c(d)=log_a(d)/log_a(c)
log_c(b)=log_a(b)/log_a(c)
Подставим в равенство
log_a(b)*log_a(d)/log_a(c)=log_a(d)*log_a(b)/log_a(c)
Получим тождество
Можно наоборот, поменять основание "a" на "c".

Здравствуйте, Anjali!
loga(b)=ln(b)/ln(a)-формула замены основания логарифма
loga(b) * logc(d)=(ln(b)/ln(a))*(ln(d)/ln(c))= (ln(b)*ln(d))/(ln(a)*ln(c))=(ln(b)*ln(d))/(ln(c)*ln(a))=
=(ln(b)/ln(c))*(ln(d)/ln(a))=logc(b)*loga(d)
Писал как можно яснее :)