Здравствуйте, STASSY.
Пусть дана сфера, около которой описан параллелепипед.
(на рис. под №1)
1) Построим
ромб, у которого противоположные стороны лежат на параллельных плоскостях, которым принадлежат
параллельные грани параллелепипеда,
причем пересечение плоскости и данной сферы проходит через центр сферы и образует
окружность,
принадлежащей данной плоскости; и две оставшиеся, противоположные
стороны ромба, на данной плоскости, причем соприкасаются каждая из сторон только в одной точке с окружностью
Т.е. плоскость пересекает как сферу так и грани, причем грани в точке соприкосновения со сферой.
Так что около получившейся окружности описан ромб, стороны которого
лежат на гранях параллелепипеда, но не принадлежат им полностью.
Причем высота ромба будет равна двойному радиусу сферы 2R
(на рис. под №2)
2) Построим ромб, такой что плоскость, которой он принадлежит, параллельна 2 оставшимся граням параллелепипеда,
и стороны ромба принадлежат другим 4 граням параллелепипеда.
Так как для параллельных плоскостей, которым принадлежат рассмотренные выше параллельные грани параллелепипеда, -
центр сферы - центр симметрии двух данных плоскостей (центральная симметрия). То ромб из пункта 1 можно привести
к ромбу в данном пункте 2, поворотом на угол альфа и бета и растяжением, выбрав центр сферы - центром координат и учитывая, что центр
сферы - центр симметрии двух данных плоскостей.
(на рис. под №3)
3) Получившийся ромб является тождественно равным параллельным граням параллелепипеда.
Проекция сферы на плоскость, которой принадлежит ромб из пункта 4 - не обязательно окружность (эллипс).
Далее поочередно рассмотрим пункты 1,2,3 относительно других граней, выбирая каждый раз грань, у которой
ребро принадлежит грани из предыдущего шага (причем углы альфа и бета в пункте 2 равны, следует из
свойства параллельности граней параллелепипеда).
После рассмотрения 6 граней, получаем, что все ребра одинаковой длины.
Так как противоположные грани параллелепипеда параллельны, получаем что грани параллелепипеда
- ромбы, у которых высоты данных ромбов одинаковы (см. пункт 2). Т.е. все грани параллелепипеда -
ромбы с одинаковой длиной сторон и высотой.
Таким образом площади всех его граней равны. Что и требовалось доказать.