Здравствуйте, Arkalis.
Пусть S - вершина пирамиды ABCDS, а О - точка пересечения диагоналей основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ASO. Центр шара М равноудален от А и S поэтому лежит на пересечении серединного перпендикуляра КМ к стороне AS и высоты SO. Получаем два подобных треугольника ASO и SKM. SO = Lsinφ
R/L = (L/2)/(Lsinφ)
R=L/(2sinφ)

Здравствуйте, Arkalis.

Основание пирамиды - прямоугольник ABCD
O- точка пересечения диагоналей ABCD
S - вершина пирамиды SABCD



AOS=BOS=COS=DOS - 1 сторона (OS) общая, угол при О прямой, стороны AO=BO=CO=DO - как половины диагоналей прямоугольника
Центром описанного шара будет точка пересечения плоскостей, проведенных через середины боковых ребер пирамиды, перпендикулярно ребрам.
Т.к. AOS=BOS=COS=DOS , то эта точка будет лежать прямой, проходящей через точки S и O.
Рассмотрим COS
Н - середина ребра CS (SH=HC=L/2)
Q - точка пересечения перпендикуляра к SO , проведенного через H.
Радиус описанного шара(сферы) R=SQ
Угол при вершине S равен 90⁰-[$966$]
cos [$8736$]OSC= SH/SQ или
cos(90⁰-[$966$])=(L/2)/R
sin([$966$])=L/(2*R)
R=L/(2*sin([$966$]))

При [$966$]=45⁰ точки Q и O сольются в одну.
При [$966$]<45⁰ точка Q выйдет за пределы пирамиды

Ответ: R=L/(2*sin([$966$]))