Здравствуйте, Karpetka.
Если я правильно понял надо найти интервал сходимости степенного ряда
∑a_nxⁿ,
где a_n = 3 n!/ (n+1)!
Замечаем, что 3 n!/ (n+1)! = 3/(n+1).
Для определения радиуса сходимости применим признак Даламбера:
lim_n->∞|3xⁿ⁺¹(n+1)/(3xⁿ(n+2))| = lim_n->∞|(x(n+1)/(n+2)| = x < 1.
Таким образом, интервал сходимости
(-1;1).
На левой границе интервала ряд знакопеременный с общим членом, стремящимся к 0. Следовательно, по признаку Лейбница в точке x = -1 ряд сходится условно. При x = 1 получаем:
∑_n=0^∞3/(n+1) = 3∑_n=1^∞1/n – расходящийся гармонический ряд.
Окончательно: ряд сходится на промежутке -1 ≤ x <1. Внутри промежутка сходимость абсолютная. В точке x = -1 сходимость условная.