Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 175349
16.12.2009, 13:10
35.00 руб.
0 6 1
Образование
Уважаемые эксперты.
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу.
Задан вектор a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k/
Доказать, что векторное поле a является потенциальным и найти его потенциал U=U(x,y,z),
предполагая, что в начале координат U=0.
a=(2xz+1)i+(y^2)j+(x^2)k/
Спасибо.

Обсуждение

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
16.12.2009, 15:27
общий
filins:
Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля.

Координата i ротора будет

∂(x^2)/∂y-∂(y^2)/∂x=0
j
∂(2xz+1)/∂z-∂(x^2)/∂x=2x-2x=0
k
∂(y^2)/∂x-∂(2xz+1)/∂y=0
днако это условие не является достаточным. Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции. Найдем эту функцию.
Если 2xz+1 есть частная производная по x скалярной функции, она выглядит как x2z+x+C1(y,z), где С1 не зависит от x.
Если x2 есть частная производная по z скалярной функции, она выглядит как x2z+C2(x,y), где С2 не зависит от z.
Значит, С1 +x=C2 , C1 зависит только от y и имеет вид y3/3.
Вектор a является градиентом функции x2z+x+y3/3+C
Из условия в начале координат U=0 видно, что С=0
U= x2z+x+y3/3

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
16.12.2009, 15:33
общий
Модераторы:
Хочется ввести формулу красиво, но не хватает маленькой дельты.
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
16.12.2009, 15:59
общий
Администрация:
Ashotn:
Вы правы, не хватает некоторых важных буковок (еще пи, например, нет)
Но это больше вопрос к Алексею Гладенюку, как к разработчику.

Алексей, если не трудно, добавь еще греческих буковок, хотя бы "дельта" и "пи".
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
давно
Зенченко Константин Николаевич
Старший Модератор
31795
6196
16.12.2009, 16:42
общий
Ashotn:
Цитата: Асмик Гаряка
Хочется ввести формулу красиво, но не хватает маленькой дельты.


Вы просто забыли о такой записи & # 945 : & # 969

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω
Об авторе:
Мне безразлично, что Вы думаете о обо мне, но я рад за Вас - Вы начали думать.

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
16.12.2009, 16:54
общий
α : ω
Скопировано из ворда ∂y/∂x
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18346
18.12.2009, 09:29
общий
это ответ
Здравствуйте, filins.

Покажем, что rot a = 0. Имеем P = 2xz + 1, Q = y2, R = x2,
rot a = (R’y – Q’z, P’z – R’x, Q’x – P’y) = (0 – 0, 2x – 2x, 0 – 0) = (0, 0, 0) = 0,
следовательно, поле a является потенциальным.

Находим потенциал U(x, y, z) поля a. Составляем систему уравнений с частными производными:
U’x = 2xz + 1,
U’y = y2,
U’z = x2.

Интегрируя первое уравнение по переменной x, получаем
U = ∫(2xz + 1)dx = x2z + x + φ(y, z),
где φ(y, z) – произвольная функция.

Дифференцируя полученную функцию U по переменной y и используя второе уравнение системы, получаем
φ’y(y, z) = y2,
что после интегрирования по переменной y дает
φ(y, z) = y3/3 + ψ(z).

Подставляя найденное значение функции φ(y, z) в выражение для U, получаем
U = x2z + x + y3/3 + ψ(z).

Дифференцируя последнее выражение по переменной z и используя третье уравнение системы, получаем
x2 + ψ’(z) = x2,
откуда ψ’(z) = 0, ψ(z) = С.

Таким образом, U = x2z + x + y3/3 + C. Поскольку U(0, 0, 0) = 0, то C = 0, и окончательно находим
U = x2z + x + y3/3.

Ответ: U = x2z + x + y3/3.

С уважением.
5
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа