Здравствуйте, maddog92.
Обозначим: a – длина стороны правильного треугольника, лежащего в основании призмы; b – диагональ ромба. Выполним рисунок.
Поскольку грань ABB’A’, перпендикулярная к плоскости основания – треугольника ABC, является ромбом, то |AA’| = |AB| = a. Тогда по теореме косинусов
|BA’|
2 = |AB|
2 + |AA’|
2 – 2|AB||AA’|cos ∟BAA’,
или
b
2 = a
2 + a
2 – 2a
2cos ∟BAA’,
откуда
cos ∟BAA’ = (2a
2 – b
2)/(2a
2) = 1 – b
2/(2a
2),
sin ∟BAA’ = √(1 – cos
2 ∟BAA’) = √(1 – (1 – b
2/(2a
2))
2) = √(1 – (1 – b
2/a
2 + b
4/(4a
4))) = √(b
2/a
2 – b
4/(4a
4)) =
= √((b
2/a
2)(1 – b
2/(4a
2)) = (b/a)√(1 – b
2/(4a
2)). (1)
Находим координаты точек B, C, A’ в системе координат, показанной на рисунке: B(a, 0, 0), C(a/2, a√3/2, 0), A’(a ∙ cos ∟BAA’, 0, a ∙ sin ∟BAA’).
Находим объем параллелепипеда ABDCC’A’B’D’, полученного присоединением к заданной наклонной призме равновеликой призмы BCDD’B’C’, как смешанное произведение векторов
AB,
AC,
AA’. Имеем:
AB = (a, 0, 0),
AC = (a/2, a√3/2, 0),
AA’ = (a ∙ cos ∟BAA’, 0, a ∙ sin ∟BAA’), V = {
AB,
AC,
AA’} =
|a 0 0|
|a/2 a√3/2 0| =
|a ∙ cos ∟BAA’ 0 a ∙ sin ∟BAA’|
= a
3 ∙ √3/2 ∙ sin ∟BAA’.
Искомый объем равен половине найденного объема параллелепипеда, т. е.
v = V/2 = a
3 ∙ √3/4 ∙ sin ∟BAA’,
или, с учетом выражения (1),
v = a
2 ∙ √3/4 ∙ b√(1 – b
2/(4a
2)).
Ответ: a
2 ∙ √3/4 ∙ b√(1 – b
2/(4a
2)).
Рекомендую Вам проверить выкладки.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.