Здравствуйте, Мария Романова.

Функциональный степенной ряд имеет вид:

[$8721$] {n = 1 ... [$8734$]} [5ⁿ*xⁿ] / ⁿ[$8730$]n

1. Определяем интервал сходимости ряда

Применим признак Д'Аламбера, то есть вычислим число q:

q = lim {n -> [$8734$]} | u_n+1 / u_n |

Здесь:

u_n = [5ⁿ*xⁿ] / ⁿ[$8730$]n

u_n+1 = [5ⁿ⁺¹*xⁿ⁺¹] / ⁽ⁿ⁺¹⁾[$8730$](n + 1) = [5*x*5ⁿ*xⁿ] / ⁽ⁿ⁺¹⁾[$8730$](n + 1)

Тогда:

q = lim {n -> [$8734$]} | u_n+1 / u_n | = lim {n -> [$8734$]} | [5*x*ⁿ[$8730$]n] / ⁽ⁿ⁺¹⁾[$8730$](n + 1) | = 5 * |x| * lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n / ⁽ⁿ⁺¹⁾[$8730$](n + 1)

Вычислим отдельно предел:

lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n

Перейдем от предела последовательности к пределу функции и вычислим логарифм от такого предела:

ln { lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n } = ln { lim {x -> [$8734$]} ^x[$8730$]x } =

= /// внесем логарифм под предел /// =

= lim {x -> [$8734$]} ln { ^x[$8730$]x } = lim {x -> [$8734$]} { (1/x) *ln (x) } = lim {x -> [$8734$]} ln (x) / x =

= /// так как имеем неопределенность вида {[$8734$]/[$8734$]}, применяем правило Лопиталя /// =

= lim {x -> [$8734$]} [ ln (x) ]' / [ x ]' = lim {x -> [$8734$]} (1/x) / 1 = lim {x -> [$8734$]} 1 / x = 0

Так как логарифм от искомого предела равен:

ln { lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n } = 0

то сам искомый предел равен:

lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n = e⁰ = 1

Возвращаемся к числу q:

q = 5 * |x| * lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n / ⁽ⁿ⁺¹⁾[$8730$](n + 1) = 5 * |x| * { lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n } / { lim {n -> [$8734$]} ⁽ⁿ⁺¹⁾[$8730$]( n + 1) } = /// m = n + 1 /// =

= 5 * |x| * { lim {n -> [$8734$]} ⁿ[$8730$]n } / { lim {m -> [$8734$]} ^m[$8730$]m } = 5 * |x| * 1/1 = 5 * |x|

Ряд сходится, согласно признаку Д'Аламбера, при q < 1

[$8658$] 5 * |x| < 1 [$8658$] |x| < (1/5) [$8658$] - (1/5) < x < (1/5)

Значит, интервал сходимости ряда - это интервал: - (1/5) < x < (1/5) (в точках этого интервала ряд сходится, причем сходится абсолютно), и радиус сходимости равен R = (1/5)

2. Рассмотрим точку х = (1/5) (правую границу интервала сходимости)

В этом случае ряд имеете вид:

[$8721$] {n = 1 ... [$8734$]} [5ⁿ*(1/5)ⁿ] / ⁿ[$8730$]n = [$8721$] {n = 1 ... [$8734$]} 1 / ⁿ[$8730$]n

Проверяем сходимость этого полученного числового ряда. Этот ряд является рядом с положительными членами. Здесь формула общего члена ряда:

a_n = 1 / ⁿ[$8730$]n

Проверяем выполнение для него необходимого признака сходимости.

lim {n -> [$8734$]} a_n = lim {n -> [$8734$]} 1 / ⁿ[$8730$]n = 1 / 1 = 1 [$8800$] 0

То есть необходимый признак сходимости не выполняется, и поэтому ряд расходится.

Значит, при х = (1/5) исходный ряд расходится, и точка х = (1/5) не принадлежит области сходимости исходного ряда

3. Рассмотрим точку х = - (1/5) (левую границу интервала сходимости)

В этом случае ряд имеете вид:

[$8721$] {n = 1 ... [$8734$]} [5ⁿ*(- 1/5)ⁿ] / ⁿ[$8730$]n = [$8721$] {n = 1 ... [$8734$]} (- 1)ⁿ / ⁿ[$8730$]n

Проверяем сходимость этого полученного числового ряда. Этот ряд является рядом со знакочередующимися членами. Здесь формула общего члена ряда:

a_n = (- 1)ⁿ / ⁿ[$8730$]n

Представим в другом виде:

a_n = b_n * c_n

где b_n = (- 1)ⁿ, c_n = 1 / ⁿ[$8730$]n

Частичные суммы [$8721$] {n = 1 ... m} b_n = [$8721$] {n = 1 ... m} (- 1)ⁿ ограничены, и - 1 <= [$8721$] {n = 1 ... m} (- 1)ⁿ <= 1
А последовательность c_n не является последовательностью, стремящейся к нулю, так как:

lim {n -> [$8734$]} c_n = lim {n -> [$8734$]} 1 / ⁿ[$8730$]n = 1 / 1 = 1 [$8800$] 0

Значит признак Дирихле не выполняется, и поэтому ряд расходится.

Значит, при х = - (1/5) исходный ряд расходится, и точка х = - (1/5) не принадлежит области сходимости исходного ряда


Итак, областью сходимости исходного ряда является интервал - (1/5) < x < (1/5)