Здравствуйте, Hellphoenix.

Обозначим высказывания следующим образом:
A = Иванов сделает работу;
B = Петров сделает работу;
C = Сидоров сделает работу.
Тогда сформулированные в условии задачи составные выказывания представятся посредством логических символов следующим образом:
Иванов не сделает эту работу, если ее сделает Петров = B → ¬A;
Петров и Сидоров сделают эту работу в том и только в том случае, если ее сделает Иванов = (B & A) ↔ A;
Сидоров эту работу сделает, а Иванов нет = C & ¬A;
Петров не сделает эту работу = ¬B.
Требуется проверить истинность высказывания (B → ¬A) & ((B & A) ↔ A) & (C & ¬A) → ¬B. (1)

Выполним над составным выказыванием в левой части формулы (1) (перед знаком импликации) преобразования при помощи логических операций:
1) B → ¬A = ¬B V ¬A;

2) (B & A) ↔ A = (¬(B & A) V A) & (¬A V (B & A)),
¬(B & A) = ¬B V ¬A,
¬(B & A) V A = (¬B V ¬A) V A = ¬B V (¬A V A) = ¬B V 1 = 1,
¬A V (B & A) = (¬A V B) & (¬A V A) = (¬A V B) & 1 = ¬A V B,
(B & A) ↔ A = 1 & (¬A V B) = (1 & ¬A) V (1 & B) = ¬A V B;

3) (B → ¬A) & ((B & A) ↔ A) = (¬B V ¬A) & (¬A V B) = (¬B V ¬A) & (B V ¬A) =
= ((¬B & B) V (¬A & B)) V ((¬A & B) V (¬A & ¬A)) = (0 V (¬A & B)) V ((¬A & B) V ¬A) =
= (¬A & B) V ((¬A & B) V ¬A) = ((¬A & B) V (¬A & B)) V ¬A = (¬A & B) V ¬A = (¬A V ¬A) & (B V ¬A) =
= ¬A & (B V ¬A)

4) (B → ¬A) & ((B & A) ↔ A) & (C & ¬A) = (¬A & (B V ¬A)) & (C & ¬A) =
= ¬A & C & (B V ¬A).

В итоге формула (1) получила следующий вид:
(¬A & C & (B V ¬A)) → ¬B. (2)
Из того, что в левой части импликации содержится конъюнкция высказываний, включающая высказывание B, а правая часть является отрицанием этого высказывания, следует неправильность рассуждений.

Проверим истинность формулы (2) при помощи таблицы истинности:



Последний столбец таблицы истинности содержит нули в двух ячейках. Значит, рассуждения неправильные.

С уважением.