Здравствуйте, Попов Антон Андреевич.
1. Находим стационарные точки функции (то есть проверяем необходимое условие существования экстремума).
Вычисляем частные производные функции первого порядка.
dz/dx = z'
x = (x
2 + xy)'
x = 2x + y
dz/dy = z'
y = (x
2 + xy)'
y = x
Необходимое условие существования экстремума, это система уравнений:
{dz/dx = 0
{dz/dy = 0
Получим:
{ 2x + y = 0
{ x = 0
Решая эту систему, получим точку А(0, 0)
2. Замкнутая область D определяет множество точек, ограниченных прямоугольником - 1 <= x <= 1 и 0 <= y <= 3, и точек на сторонах прямоугольника
Саму область D можно увидеть
тутТочка А(0, 0) принадлежит данной области, а именно является серединой нижней сороны.
3. Определяем характер точки А(0, 0)
Вычисляем частные производные функции второго порядка.
d
2z/dx
2 = (dz/dx)'
x = (2x + y)'
x = 2
d
2z/dy
2 = (dz/dy)'
y = (x)'
y = 0
d
2z/(dxdy) = (dz/dx)'
y = (dz/dy)'
x = (2x + y)'
y = 1
В точке А(0, 0):
d
2z/dx
2 = 2, d
2z/dy
2 = 0, d
2z/(dxdy) = 1
[$8658$] [d
2z/dx
2]*[d
2z/dy
2] - [d
2z/(dxdy)]
2 = 2*0 - 1
2 = - 1 < 0
Следовательно, точка А(0, 0) не является точкой локального экстремума.
4. Проверяем на границах области
а) на нижней стороне прямоугольника
Эту область можно задать так: y = 0, - 1 <= x <= 1. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от х, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.
z(x, 0) = x
2 + xy = / y = 0 / = x
2 = z
1(x)
Тогда:
z'
1(x) = 2x
z'
1(x) = 0 при х = 0. Это необходимое условие экстремума
Точка х = 0 принадлежит отрезку - 1 <= x <= 1
z''
1(x) = 2
При х = 0 z''
1(x) = 2 > 0. Это достаточное условие экстремума
Следовательно, точка х = 0 является точкой локального минимума функции z
1(x) и z
1(0) = 0
Переходя к исходной функции, получим опять же точку А(0, 0) и значение исходной функции в этой точке равно z(0, 0) = 0
б) на верхней стороне прямоугольника
Эту область можно задать так: y = 3, - 1 <= x <= 1. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от х, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.
z(x, 3) = x
2 + xy = / y = 3 / = x
2 + 3x = z
2(x)
Тогда:
z'
2(x) = 2x + 3
z'
2(x) = 0 при х = - (3/2). Это необходимое условие экстремума
Точка х = - (3/2) не принадлежит отрезку - 1 <= x <= 1, поэтому далее этот случай не рассматриваем.
в) на левой стороне прямоугольника
Эту область можно задать так: х = - 1, 0 <= у <= 3. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от у, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.
z(- 1, y) = x
2 + xy = / x = - 1 / = 1 - y = z
3(y)
Тогда:
z'
3(y) = - 1
z'
1(y) [$8800$] 0 ни при каком действительном х. То есть экстремема функция z
3(y) не имеет (функция убывающая на всей действительной оси), поэтому далее этот случай не рассматриваем.
г) на правой стороне прямоугольника
Эту область можно задать так: х = 1, 0 <= у <= 3. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от у, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.
z(1, y) = x
2 + xy = / x = 1 / = 1 + y = z
4(y)
Тогда:
z'
4(y) = 1
z'
4(y) [$8800$] 0 ни при каком действительном х. То есть экстремема функция z
4(y) не имеет (функция возрастающая на всей действительной оси), поэтому далее этот случай не рассматриваем.
5. В итоге получим пять "подозрительных" точек, в которых функция может принимать максимальное и минимальное значение в области D. Это точки:
- точка А(0, 0), как экстремум функции на нижней границе области;
- вершины прямоугольника, точки B
1(-1, 0), B
2(-1, 3), B
3(1, 0) и B
4(1, 3)
В точке А(0, 0): z(0, 0) = 0
В точке B
1(-1, 0): z(-1, 0) = (- 1)
2 + (- 1)*0 = 1
В точке B
2(-1, 3): z(-1, 3) = (- 1)
2 + (- 1)*3 = - 2
В точке B
3(1, 0): z(1, 0) = 1
2 + 1*0 = 1
В точке B
4(1, 3): z(1, 3) = 1
2 + 1*3 = 4
Следовательно, функция принимает свое минимальное значение в точке B
2(-1, 3) и z
min = - 2, функция принимает свое максимальное значение в точке B
4(1, 3) и z
max = 4