Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 172353
20.09.2009, 01:18
0.00 руб.
0 2 1
Образование
Доброго времени суток, уважаемые эксперты!
Мне нужно решение одного примера для того чтобы написать программку по заданию. Программу то я напишу, но вот математика у меня класса с 5-го в запущенном состоянии...Помогите пожалуйста с примером - для меня он нереально сложный, но для вас, возможно, и не очень.

Вот задание:
Найти интервалы изоляции действительных корней уравнения:
x^3+3x^2-24x+10=0

Тут решние аналогичного примера:

x^3-2x^2-4x+7=0
Найдем производную функции f(x)=x^3-2x^2-4x+7 и критические точки из условия: f'(x)=0.
f'(x)=3x^2-4x-4=0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=64,
x[size=1]1,2[/size]=(4+-8)/6=(2+-4)/3,
x[size=1]1[/size]=-2/3
x[size=1][/size]=2.

Составим таблицу знаков функции f(x):
x|___ -Y___-2/3___2___+Y
f(x)|___ - ___ + ___ - ___ +

Уменьшим промежутки, содержащие корни:
x|___-2___-2/3___2___3
f(x)|___- ____ + ___ - ___+

Обсуждение

Неизвестный
20.09.2009, 09:59
общий
это ответ
Здравствуйте, Slayder.
Вообще-то существует несколько способов отделения корней. Однако, как мне показалось, в вашем примере предложен следующий способ.

Итак.
f(x) = x3+3*x2-24x+10

Тогда

f'(x) = 3*x2 + 6*x - 24.

Определяем стационарные точки
3*x2 + 6*x - 24 = 0
x2 + 2*x - 8=0
x1,2=-1[$177$][$8730$](1+8)=-1[$177$]3
x1=-1+3=2
x2=-1-3=-4

Далее заметим:
f(2) = -18 < 0
f(-4) = 90 > 0

Теперь найдем интервалы возрастания/убывания функции f(x).
При x<-4 f'(x)>0, т.е. функция f(x) возрастает.
При -4<x<2 f'(x)<0, т.е. функция f(x) убывает.
При x>2 f'(x)>0, т.е. функция f(x) возрастает.

На основе этих данных можем построить эскиз графика функции f(x).

Из этого эскиза можно сделать вывод, что данное уравнение имеет три корня, лежащие на интервалах: (-[$8734$],-4], [-4,2] и [2,+[$8734$]).

Корни выделены. Найти их можно, например, итерационным методом Ньютона, взяв за начальное приближение точку из соответствующего интервала. Вы пишете, что осуществить это можете самостоятельно.

Удачи.
5
Спасибо Вам, Сергей Владимирович. Вы мне очень помогли!
Неизвестный
20.09.2009, 16:15
общий
Еще один нюанс.
Может возникнуть желание решить уравнение методом половинного деления или методом "золотого сечения" (оно же "гармоническое сечение"). Для этих методов необходимо четко указать отрезки, в которых лежат корни.

Один из таких отрезков приведен в решении: [-4,2].

Для двух других корней можно использовать, например отрезки [-7, -4] и [2, 4].

Критерий выбора отрезков очень прост.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и произведение f(a)*f(b)<0, то на отрезке [a, b] обязательно находится хотя бы один корень уравнения f(x)=0.

В нашем случае функция f(x) непрерывна на всей числовой оси. При этом
f(-7)*f(-4) = -1620 < 0
f(2)*f(4) = -468 <0
f(2)*f(-4) = -1620 < 0.

Т.е. на отрезках [-7,-4], [-4,2], [2,4] находятся по крайней мере по одному корню. В решении доказано, что на каждом из этих отрезков находится только один корень.
Форма ответа