Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

Задача 1

Функция y = 1 / (1 + 2^1/x) является непрерывной при любом действительном х, кроме х = 0

Для определения характера точки х = 0 надо найти односторонние пределы функции в данной точке и, по возможности, предел функции в этой точке

Находим предел слева, то есть рассматриваем x -> 0-, в этом случае х < 0. Тогда (1/х) -> - [$8734$], и 2^1/x -> 2^{- [$8734$]} = 0. Значит предел функции слева:

lim{x -> 0-} y(x) = lim{x -> 0-} 1 / (1 + 2^1/x) = 1 / (1 + 0) = 1

Этот предел конечен и равен 1

Находим предел справа, то есть рассматриваем x -> 0+, в этом случае х > 0. Тогда (1/х) -> + [$8734$], и 2^1/x -> 2^{+ [$8734$]} = + [$8734$]. Значит предел функции справа:

lim{x -> 0+} y(x) = lim{x -> 0+} 1 / (1 + 2^1/x) = 1 / (1 + [$8734$]) = 0

Этот предел конечен и равен 0

Так как левосторонний и правосторонний пределы не равны и конечны, то в самой точке предел не существует. Также так как левосторонний и правосторонний пределы не равны и конечны, то точка х = 0 является точкой разрыва первого рода

Схематично это выглядит так:


Кстати, немного теории о точках разрыва:

- если односторонние пределы равны и конечны, то точка разрыва является устранимой точкой разрыва, и в этой точке функцию можно доопределить, и из равенства односторонних пределов и их конечности (существования) следует, что существует (конечен) предел в этой точке.

- если односторонние пределы не равны и конечны, то точка разрыва является точкой разрыва первого рода, и из неравенства односторонних пределов и их конечности (существования) следует, что не существует предел в этой точке.

- если хотя бы один односторонний предел равен бесконечности (то есть не существует), то точка разрыва является точкой разрыва второго рода, и не существует предел в этой точке.


Задача 2

Рассмотрим функцию y(x) = х⁵ - 3х - 1 (из выражения х⁵ - 3х - 1 = 0)

Функция непрерывна на всей действительной оси, то есть при любом дейтвительном х

При х = 1: y(1) = 1⁵ - 3*1 - 1 = - 3 < 0

При х = 2: y(2) = 2⁵ - 3*2 - 1 = 25 > 0

Так как функция непрерывна при любом дейтвительном х, то есть и на отрезке [1; 2], и на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, то функция имеет по меньшей мере одну точку, в которой функция равна нулю, следовательно и уравнение имеет по меньшей мере один корень