Здравствуйте, Сидорова Юлия Евгеньевна.

1. Аналитичность функции

Функция аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точек:

z² - 5z + 6 = 0

z_1,2 = 2.5 [$177$] [$8730$](0.25) = 2.5 [$177$] 0.5

z₁ = 2, z₂ = 3 - простые полюсы функции

2. Разложим дробь, определяющую функцию, на элементарные

f(z) = z / (z² - 5z + 6) = z / [(z - 2)(z - 3)] = [A/(z - 2)] + [B/(z - 3)]

z = A*(z - 3) + B*(z - 2) = (A + B)*z + (- 3A - 2B)

Получим систему уравнений:

{A + B = 1
{- 3A - 2B = 0

[$8658$] A = - 2, B = 3

[$8658$] f(z) = - [2/(z - 2)] + [3/(z - 3)]

3. Области разложения

Относительно точки z₀ = 3 (являющейся простым полюсом функции) получим две области (два "кольца"):
а) 0 < |z - 3| < 1
б) |z - 3| > 1

*** точка z₁ = 2 (простой полюс функции) как раз "разграничивает" эти "кольца"

4. При 0 < |z - 3| < 1

Так как

1/(1 + z) = 1 + z + z² + z³ + ... = [$8721$]{n=0...[$8734$]} zⁿ, при |z| < 1, то:

1/(z - 2) = 1/(1 + (z - 3)) = [$8721$]{n=0...[$8734$]} (z - 3)ⁿ

Этот ряд сходится при |z - 3| < 1, рассматриваемая область (0 < |z - 3| < 1) подходит

Тогда:

f(z) = z / (z² - 5z + 6) = - [2/(z - 2)] + [3/(z - 3)] = [3/(z - 3)] - 2*[$8721$]{n=0...[$8734$]} (z - 3)ⁿ

5. При |z - 3| > 1

Так как

1/(1 + z) = 1 + z + z² + z³ + ... = [$8721$]{n=0...[$8734$]} zⁿ, при |z| < 1, то:

1/(z - 2) = 1/(1 + (z - 3)) = [1/(z - 3)]*[1/(1 + (1/(z - 3)))] = [1/(z - 3)]*[$8721$]{n=0...[$8734$]} 1/(z - 3)ⁿ = [$8721$]{n=0...[$8734$]} 1/(z - 3)ⁿ⁺¹ = [$8721$]{n=1...[$8734$]} 1/(z - 3)ⁿ

Этот ряд сходится при |1/(z - 3)| < 1, то есть при |z - 3| > 1, то есть в рассматриваемой области (|z - 3| > 1)

Тогда:

f(z) = z / (z² - 5z + 6) = - [2/(z - 2)] + [3/(z - 3)] = [3/(z - 3)] - 2*[$8721$]{n=1...[$8734$]} 1/(z - 3)ⁿ = [1/(z - 3)] - 2*[$8721$]{n=2...[$8734$]} 1/(z - 3)ⁿ