Здравствуйте, Alik4546.

Преобразуем выражение для заданной функции:
f(z) = 5(z – 20)/[z²(z² + 5z – 50)] = 5(z – 20)/[z²(z - 5)(z + 10)]. (1)

Разложим дробь (1) в сумму простейших дробей. Разложение будем искать в виде
(z – 20)/[z²(z - 5)(z + 10)] = A/z + B/z² + C/(z – 5) + D/(z + 10).
Имеем
(z – 20)/[z²(z - 5)(z + 10)] =
= [Az(z – 5)(z + 10) + B(z – 5)(z + 10) + Cz²(z + 10) + Dz²(z – 5)]/[z2(z - 5)(z + 10)].
Отсюда следует, что
z – 20 = Az(z – 5)(z + 10) + B(z – 5)(z + 10) + Cz²(z + 10) + Dz²(z – 5), (2)
причем равенство выполнено и при значениях z = 0, z = 5, z = -10.
При z = 0 получаем
-20 = -50B, то есть B = -20/(-50) = 2/5,
при z = 5 получаем
-15 = 375C, то есть C = -15/375 = -1/25,
при z = -10 получаем
-30 = -1500D, то есть D = -30/(-1500) = 1/50.
Приравнивая в обеих частях выражения (2) коэффициенты при z³, получаем
0 = A + C + D,
A = -C – D = 1/25 – 1/50 = 1/50.
Следовательно, заданная функция разлагается на простейшие дроби следующим образом:
f(z) = (z – 20)/[z²(z - 5)(z + 10)] = 5 ∙ [1/50 ∙ 1/z + 2/5 ∙ 1/z² – 1/25 ∙ 1/(z – 5) + 1/50 ∙ 1/(z + 10)] =
= 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z² – 1/5 ∙ 1/(z – 5) + 1/10 ∙ 1/(z + 10).

Заданная функция имеет особые точки z = -10, z = 0, z = 5. Она является аналитической в следующих областях:
1) 0 < |z| < 5;
2) 5 < |z| < 10;
3) |z| > 10.

Так как дроби 1/10 ∙ 1/z и 2 ∙ 1/z² уже представлены в виде суммы двух членов вида c_nzⁿ, то остается найти разложения дробей -1/5 ∙ 1/(z – 5) и 1/10 ∙ 1/(z + 10). Для этого воспользуемся известным разложением дроби 1/(1 – z) = Σ _{n = 0}^∞ zⁿ в бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = z в той области, где z «мало», то есть в открытом круге q = |z| < 1, и получим
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = 1/5 ∙ 1/(5 – z) = 1/25 • 1/(1 – z/5) = 1/25 • [1 + z/5 + (z/5)² + … + (z/5)ⁿ + …] =
= 1/25 + z/5³ + z²/5⁴ + z³/5⁵ + … + zⁿ/5^{n + 2} + … (этот ряд – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - сходится при |q| = |z/5| < 1, то есть в открытом круге |z/5| < 1, или |z| < 5);
1/10 ∙ 1/(z + 10) = 1/100 • 1/[1 – (-z/10)] = 1/100 • [1 – z/10 + (-z/10)² - … + (-z/10)ⁿ + …] =
= 1/100 – z/(10)³ + z²/(10)⁴ + … + (-z)ⁿ/(10)^{n + 2} + … (этот ряд – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – сходится при |q| = |-z/10| < 1, или |z| < 10).

Аналогично находим:
при |z| > 5
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = -1/5 • 1/z • 1/(1 – 5/z) = -1/5 • 1/z • [1 + 5/z + (5/z)² + … + (5/z)ⁿ + …] =
= -[1/(5z) + 1/z² + 5/z³ + … + 5^{n – 1}/z^{n + 1} + …] = -Σ _{n = 0}^∞ 5^{n – 1}/z^{n + 1},
при |z| > 10
1/10 ∙ 1/(z + 10) = 1/10 • 1/z • 1/[1 – (-10/z)] = 1/10 • 1/z • [1 – 10/z + (-10/z)² + … + (-10/z)ⁿ + …] =
= 1/(10z) – 1/z² + 10/z³ + … + (-1)ⁿ(10)^{n – 1}/z^{n + 1} + …] = Σ _{n = 0}^∞ (-1)ⁿ(10)^{n – 1}/z^{n + 1}.

Следовательно,
1) при 0 < |z| < 5
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = Σ _{n = 0}^∞ zⁿ/5^{n + 2},
1/10 ∙ 1/(z + 10) = Σ _{n = 0}^∞ (-1)ⁿzⁿ/(10)^{n + 2},
f(z) = 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z² + Σ _{n = 0}^∞ [zⁿ/5^{n + 2} + (-z)ⁿ/(10)^{n + 2}] =
= 1/(10z) + 2/z[sup]2[/sup] + Σ [sub]n = 0[/sub][sup]∞[/sup] z[sup]n[/sup]/(10)[sup]n + 2[/sup] • [2[sup]n + 2[/sup] + (-1)[sup]n[/sup]];
2) при 5 < |z| < 10
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = -Σ _{n = 0}^∞ 5^{n – 1}/z^{n + 1},
1/10 ∙ 1/(z + 10) = Σ _{n = 0}^∞ (-1)ⁿzⁿ/(10)^{n + 2},
f(z) = 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z² – 1/5 • 1/z – 1/z² + (-Σ _{n =2}^∞ 5^{n – 1}/z^{n + 1}) + Σ _{n = 0}^∞ (-1)ⁿzⁿ/(10)^{n + 2} =
= -1/(10z) + 1/z[sup]2[/sup] - Σ [sub]n =2[/sub][sup]∞[/sup] 5[sup]n – 1[/sup]/z[sup]n + 1[/sup] + Σ [sub]n = 0[/sub][sup]∞[/sup] (-1)[sup]n[/sup]z[sup]n[/sup]/(10)[sup]n + 2[/sup];
3) при |z| > 10
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = -Σ _{n = 0}^∞ 5^{n – 1}/z^{n + 1},
1/10 ∙ 1/(z + 10) = Σ _{n = 0}^∞ (-1)ⁿ(10)^{n – 1}/z^{n + 1},
f(z) = 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z² – 1/5 • 1/z – 1/z² - Σ _{n =2}^∞ 5^{n – 1}/z^{n + 1} + 1/10 • 1/z – 1/z² + Σ _{n = 2}^∞ (-1)ⁿ(10)^{n – 1}/z^{n + 1} =
= Σ _{n = 2}^∞ [(-1)ⁿ(10)^{n – 1}/z^{n + 1} - 5^{n – 1}/z^{n + 1}] = Σ [sub]n = 2[/sub][sup]∞[/sup] 5[sup]n - 1[/sup][(-1)[sup]n[/sup]2[sup]n - 1[/sup] – 1]/z[sup]n + 1[/sup].

Выделенное жирным шрифтом и составляет ответ на вопрос задачи.

С уважением.