Здравствуйте, Alik4546.

1. Исследуем аналитичность подынтегральной функции.
Подынтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости за исключением точек:

z³ = 0

То есть точки: z₀=0. Это тройной полюс функции (так как z в третьей степени)

2. Контур интегрирования С:|z|=1/3 представляет собой окружность радиуса R=1/3 и с центром в точке z₀=0
Единственный полюс подынтегральной функции z₀=0 лежит внутри области, ограниченной данной окружностью

3. Тогда преобразуем подынтегральную функцию:

(3 - 2z + 4z⁴)/z³ = f(z)/z³ , где f(z) = 3 - 2z + 4z⁴

Функция f(z) аналитична на всей комплексной плоскости. Значит она аналитична внутри области, ограниченной контуром интегрирования, и на самом контуре. Поэтому справедлива интегральная формула Коши:

∫_С (f(z)/(z-z₀)³) dz = (2*pi*i/2!)*f''(z₀) = pi*i*f''(z₀), здесь z₀=0

Вычисляем вторую производную:

f''(z) = (3 - 2z + 4z⁴)'' = ( - 2 + 16*z³)' = 48*z²

Итак:

∫_С (3 - 2z + 4z⁴) / z³ dz = pi*i*f''(0) = pi*i* {48*z²} |z=0 = pi*i*0 = 0