Здравствуйте, Tribak.

Для вычисления логарифма с помощью степенного ряда можно использовать формулу
ln (1 + t) = ln t + 2[1/(2t + 1) + 1/(3(2t + 1)³) + 1/(5(2t + 1)⁵) + … + 1/((2n – 1)(2t + 1)^{2n – 1})],
причем, чем больше t, тем быстрее сходится ряд в правой части. Можно показать, что сумма остатка ряда
R_n < 1/(2(2n + 1)t(t + 1)(2t + 1)^{2n – 1}).

Указанных сведений достаточно, чтобы решить Вашу задачу. Важно только знать ln t. Поэтому в общем случае задача решается в несколько шагов, с учетом погрешности промежуточных вычислений.

Учитывая Вашу квалификацию, на этом остановлюсь.

С уважением.

Здравствуйте, Tribak.
Известно разложение в ряд Макларена для функции ln(1+x), |x|<1
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... + (-1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+1) [I]
Преобразуем ln(10)=ln(1+9) к следующему виду:
ln(1+9) = - ln(1/(1+9)) = - ln(1 - (9/(1+9))) = - ln (1 - 0.9)
Применим формулу [I] для x = - 0.9
ln(1+9) = - (- 0.9 - 0.9²/2 - 0.9³/3 - 0.9⁴/4 - ...) = 0.9 + 0.9²/2 + 0.9³/3 + 0.9⁴/4 + ...
Складываем, пока новый добавляемый член 0.9ⁿ/n [$8805$] 0.001