Здравствуйте, bezrukavo4ka.

1.1. (x + 5)/(x³ – 2x² + 5x) = (x + 5)/(x(x² – 2x + 5)) = A/x + (Bx + C)/(x² – 2x + 5) =
= (A(x² – 2x + 5) + (Bx + C)x)/(x(x² – 2x + 5)),
A(x² – 2x + 5) + (Bx + C)x = x + 5,
(A + B)x² + (-2A + C)x + 5A = x + 5,
A + B = 0, -2A + C = 1, 5A = 5,
A = 1, B = -1, C = 3,
(x + 5)/(x³ – 2x² + 5x) = 1/x + (-x + 3)/(x² – 2x + 5),
∫(x + 5)dx/(x³ – 2x² + 5x) = ∫dx/x + ∫(-x + 3)dx/(x² – 2x + 5) =
= ∫dx/x - ∫(x – 3)dx/(x² – 2x + 5) = ∫dx/x - ∫((2x – 2)/2 – 2)dx/(x² – 2x + 5) =
= ∫dx/x – (1/2)∫(2x – 2)dx/(x² – 2x + 5) - 2∫dx/(x² – 2x + 5) =
= ∫dx/x – (1/2)∫d(x² – 2x + 5)/(x² – 2x + 5) - 2∫d(x – 1)/((x – 1)² + 2²) =
= ln |x| - (1/2)ln (x² – 2x + 5) – arctg (x – 1)/2 + C.

1.2. ∫dx/(sin 2x + 2) =
= (t = tg x, sin 2x = 2t/(1 + t²), dx = 2dt/(1 + t²) =
= ∫1/(2t/(1 + t²) + 2) ∙ 2dt/(1 + t²) = ∫(1 + t²)/(2t² + 2t + 2) ∙ 2dt/(1 + t²) = ∫dt/(t² + t + 1) =
= ∫dt/((t + 1/2)² + 3/4) = ∫d(t + 1/2)/((t + 1/2)² + 3/4) = (2/√3)arctg 2(t + 1/2)/3 + C =
= (2/√3)arctg 2(tg x + 1/2)/3 + C = (2/√3)arctg (2tgx + 1)/3 + C.

2. ₁∫^+∞dx/((1 + x²)arctg x) = ₁∫^+∞d(arctg x)/arctg x = lim_{a → +∞ 1}∫^ad(arctg x)/arctg x = lim_{a → +∞} ln arctg x|₁^a =
= ln π/2 – ln п/4 = ln 2 ≈ 0,6931.

3. Вы сделали рисунок и можете увидеть, что прямая 2x + y – 6 = 0 и парабола y = x²/2 пересекаются в точке (2; 2). Поэтому тело, объем V которого требуется найти, можно представить как состоящее из двух тел. Первое из тел, имеющее объем V₁, образовано вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной параболой и прямыми y = 0, x = 2. Второе из тел, имеющее объем V₂, образовано вращением вокруг оси абсцисс треугольника, ограниченного прямыми y = -2x + 6, y = 0, x = 2.

Находим объемы этих тел:
V₁ = π ∙ ₀∫²(x²/2)²dx = π ∙ ₀∫²(x⁴/4)dx = πx⁵/20|₀² = π(32/20) = 8π/5,
V₂ = π ∙ ₂∫³(-2x + 6)²dx = π ∙ ₂∫³(4x² – 24x + 36)dx = π(4x³/3 – 12x² + 36x)|₂³ =
= π(36 – 108 + 108) – π(32/3 – 48 + 72) = 36π - 104π/3 = 4π/3,
V = V₁ + V₂ = 8π/5 + 4π/3 = 44π/15.

С уважением.