Здравствуйте, Полякова Анна Александровна!
а)
lim{x->3}(3x^2+4x+1)/(7x^2+x-6) = (3*3^2+4*3+1)/(7*3^2+3-6) = 2/3.
Здесь просто подставили 3 вместо x.

lim{x->-1}(3x^2+4x+1)/(7x^2+x-6) = lim{x->-1}((x+1)(3x+1))/((x+1)(7x-6)) = lim{x->-1}(3x+1)/(7x-6) = (3*(-1)+1)/(7*(-1)-6) = 2/13
Здесь подставлять напрямую x=-1 нельзя, потому что получится выражение вида 0/0 (на 0, как известно, делить нельзя). Поэтому для начала числитель и знаменатель разложили на множители, а затем сократили на (x+1). Сокращать мы имеем право, потому что при x->-1 выражение (x+1) только стремится к нулю, в нуль же не обращается. После сокращения в полученное выражение уже можем подставить x=-1.

lim{x->∞}(3x^2+4x+1)/(7x^2+x-6) = lim{x->∞}(3+4/x+1/x^2)/(7+1/x-6/x^2) = 3/7.
Здесь мы и числитель и знаменатель поделили на x^2. Далее нашли отдельно пределы числителя и знаменателя, а потом поделили первый на второй.

б)
lim{x->∞} (((√(9x^2+4x))-3x)/x) = lim{x->∞} ((√(9+4/x))-3) = 0
Сначала поделили числитель и знаменатель на x, а потом вычислили предел (учитывая, что lim{x->∞}(4/x)=0 ).

в)
lim{x->0} (ctg(3x))/(ctg(6x)) = lim{x->0}(cos(3x)*sin(6x)/(cos(6x)*sin(3x))= lim{x->0}(cos(3x)/cos(6x))*
lim{x->0}(sin(6x)/sin(3x)) = 1*lim{x->0}(sin(6x)/(6x))* lim{x->0}((3x)/sin(3x)) *6/3 = 1*1*1*6/3=2
Сначала представили все котангенсы как cos/sin, далее применили первый замечательный предел.

г)
lim{x->∞} (((3x-1)/(3x-4))^2x ) = lim{x->∞} ((1 + 1/(x-4/3))^2x) = lim{x->∞} ((((1 + 1/(x-4/3)))^(x-4/3)) ^(2x/(x-4/3))) = e^lim{x->∞} (2x/(x-4/3)) = e^lim{x->∞}(2/(1-4/(3x))) = e^2
Сначала свели исходное выражение ко второму замечательному пределу. Далее оставалось только вычислить lim{x->∞} (2x/(x-4/3)). Это делается аналогично задаче a), где надо было искать предел при x->∞.