Здравствуйте, Ankden!

Требуется найти предел

lim (1/(x^2-x^4/3)-ctg(x)^2)^(1/arcsin(x^2)) при x -> 0

используя разложение в ряд Тейлора.

Решения

Первый член в основании степени равен:
1/(x^2-x^4/3)=(1/x^2)*(1/(1-x^2/3))= (1/x^2)*(1 + x^2/3 + x^4/9 + ..) (1).

Представим второй член ctg(x)^2 в аналогичном виде.
Для этого перепишем его так:
(1/x^2)*(x/tg(x))^2.
Пользуясь известным разложением tg(x) в ряд, получим:
x/tg(x) = x/(x+(1/3)*x^3+(2/15)*x^5+..)=
1/(1+(1/3)*x^2+(2/5)*x^4+..)=c0+c1*x^2+c2*x^4+.. .
Коэффициенты c0, c1, c2 .. найдем последовательно после перемножения рядов:
с0=1, c1=-1/3, c2=-1/45, .. ,
то есть
x/tg(x) = 1 - (1/3)*x^2 - (1/45)*x^4 + ..
Возводя полученный ряд в квадрат, находим
(x/tg(x))^2 = 1 - (2/3)*x^2 + (1/15)*x^4 + ..,
и, следовательно,
ctg(x)^2 = (1/x^2)*(1 - (2/3)*x^2 + (1/15)*x^4 + .. ) (2)

Вычитая (2) из (1), получим разложение для основания:
1 + (2/45)*x^2 + O(x^4)

Заметим, что все рассмотренные ряды имеют ненулевой радиус
сходимости в соответствии с правилами сложения, умножения и деления степенных рядов.

Для показателя справедливо:
1/arcsin(x^2) = 1/(x^2 + O(x^4)).
Пренебрегая высшими степенями в основании и в показателе, получим
lim (1 + (2/45)*x^2)^(1/x^2).
Этот предел легко преобразовать заменой переменной
a=(2/45)*x^2
к виду
lim ((1+a)^(1/a))^(2/45), a->0.

Отсюда ясно, что искомый предел равен e^(2/45).