Здравствуйте, Бурундукова Елена Олеговна!
1)
Проведем обе диагонали AC и BD, Пусть О - точка пересечения диагоналей.
По построению, ОС - биссектриса угла BCD. А тогда по свойству биссектрисс,
|CD| / |BC| = |OD| / |OB|
Далее, заметим, что [$916$]OBC и [$916$]OAD подобны, т.к. [$8736$]BOC = [$8736$]AOD и BC || AD
а тогда, |OD| / |OB| = |AD| / |BC|
С учетом предыдущего, имеем: |CD| / |BC| = |AD| / |BC| или |CD| = |AD|
Учтем, что периметр P = 42 = |BC| + |CD| + |AD| + |AB| = |BC| + 3|CD|. Отсюда |CD| = |AD| = 13
Пусть BK [$8869$] AD и CL [$8869$] AD
Тогда |LD| = (|AD| - |KL|) / 2 = 5 (трапеция равнобедренная)
Из [$916$]CDL найдем |CL| = [$8730$](|CD|² - |LD|²) = 12
Ну и, наконец, площадь трапеции S = (1/2) (|BC|+|AD|) |CL| = 96
2)
Т.к. AC - касательная, то [$8736$]ACO - прямой, [$8736$]AKC по построению тоже прямой
[$8736$]KCO = [$8736$]ACO - [$8736$]ACK = [$8736$]KAC
А тогда [$916$]AKC и [$916$]KCO - подобны по трем углам
Заметим, что по построению, |KC| = (1/2)|BC| = 15
Найдем |OK| = [$8730$](|OC|² - |KC|²) = 8
Из подобия треугольников: |AK| / |KC| = |KC| / |OK|, отсюда |AK| = 28,125
3)
Пусть грань AOB - равнобедренный треугольник, тогда и DOC - тоже равнобедренный
Пусть OL [$8869$] AB и OK [$8869$] CD, тогда [$8736$]COK = 1/2[$8736$]COD = a
Из [$916$]OKC: |KC| = bsin(a) и |DC| = 2|KC| = 2bsin(a)
OD наклонена к грани AOB под углом а, значит [$8736$]AOD = a
Из [$916$]OAD: |AD| = bsin(a) и |OA| = bcos(a)
А тогда из [$916$]AOL: |OL| = [$8730$](|OA|² - |AL|²) = b[$8730$](cos(2a))
Наконец, V = (1/3)|AD||CD||OL| = (1/3) b³ sin(2a) [$8730$](cos(2a))
4)
Пусть R - радиус основания, а H - высота конуса
Объем всей пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3)[$8719$]R²H
Cечение представляет собой [$916$]ABC
По построению, [$916$]AOB - равносторонний, а значит [$8736$]AOB = 60[$186$] и объем меньшего сектора конуса составляет 1/6 часть объема всего конуса
Кроме того, объем меньшего сектора конуса состоит из объема пирамиды AOBC и отсекаемой части (обозначим V₁)
V_AOBC = S_AOBH = ([$8730$]3/4)R²H
Объем V₁ = (1/18)[$8719$]R²H - ([$8730$]3/4)R²H = (1/2) R²H ([$8719$]/9 - [$8730$]3/2)
Объем большей отсеченной части V₂ = (5/18)[$8719$]R²H + ([$8730$]3/4)R²H = (1/2) R²H ((5/9)[$8719$] + [$8730$]3/2)
Искомое отношение равно V₂ / V₁ = (10[$8719$] + 9[$8730$]3) / (2[$8719$] - 9[$8730$]3)