Здравствуйте, Aneme!
1. Обозначим текущее значение высоты поднятия с земли материалов через x; тогда масса dm "слоя" элементарной толщины dx равна: dm = ρ*π*(D
2 - d
2)*dx, где ρ = 2.8*10³ кг/м³ - п а элементарная работа dА поднятия "слоя" с земли равна: dА = dm*g*x = ρ*g*π*(D
2 - d
2)*x*dx (1), где g - ускорение свободного падения. Проинтегрировав (1) в пределах от 0 до h, получаем: А = ρ*g*π*(D
2 - d
2)*h
2/2 (2), или, приняв во внимание, что π*(D
2 - d
2)*h - это объём трубы V
тр, а ρ*V
тр = M
тр - её полная масса: А = M
тр*g*h/2 (3), или А = M
тр*g*h
цттр (3а), где h
цттр = h/2 = 20 м - расстояние от земли до центра тяжести трубы
(о чём следовало догадаться с самого начала). В числах: V
тр = π*(3
2 - 2
2)*40 = 628 м³, M
тр = 628*2.8*10³ = 1.76*10
6 кг, А = 1.76*10
6*9.81*20 = 3.45*10
8 Дж.
2. За счёт удара пули стержень получает вращение вокруг оси с угловой скоростью ω; при этом кинетическая энергия вращения стержня W
к = J*ω
2/2 (1), где J - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец. Подставив в (1) формулу: J = M*l
2/3 (2) (см.
Википедия "Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей" URL >>) после сокращений получаем: W
к = M*l
2/3*ω
2/2 = M*l
2*ω
2/6 (3). Эта кинетическая энергия превращается в потенциальную, совершая работу по подъёму центра массы стержня при его повороте на 60°. Центр массы однородного стержня находится в его середине; до поворота он был ниже оси на l/2; после поворота он стал ниже оси на (l/2)*COS(60°) = (l/2)*(1/2) = (l/4), а, значит, поднялся на высоту (l/2) - (l/4) = (l/4), а его потенциальная энергия увеличилась на M*g*l/4, откуда, совместно с (3), получаем уравнение: M*g*l/4 = M*l
2*ω
2/6 (4), а после сокращений: 3*g = 2*ω
2*l (4). Из (4) получаем выражение: ω = √(3*g/(2*l)) (5); точка же стержня, в которую ударила пуля, приобрела линейную скорость V
с, равную: V
с = ω*(2/3)*l = √(2/3)*√(g*l) (6). Для перехода от скорости V
с к скорости пули до удара V
п можно воспользоваться известными (см.
3.1. Центральное упругое столкновение тел или
здесь) формулами для скоростей после удара в случае центрального и абсолютно упругого столкновения двух однородных шаров с разными массами, один из которых до столкновения покоился; а вращающийся вокруг оси стержень заменим "эквивалентным" (очень малым в диаметре) шаром с массой M
экв, соблюдая условие, чтобы момент инерции этого шара J
экв относительно той же оси: J
экв = M
экв*(2/3*l)
2 (7), равнялся моменту инерции стержня J. Сопоставив (7) и (2), получаем: M
экв = (3/4)*M (8). Теперь, на основании известных формул: V
п = V
с*(m + M
экв)/(2*m) (9), или, с учётом (6) и (8): V
п = √(2/3)*√(g*l)*(m + (3/4)*M)/(2*m) = √(2/3)*√(9.81*1)*(0.005 + (3/4)*0.7)/(2*0.005) = 136 м/с.