Здравствуйте, Belmont!
Общая длина проволоки в кольце радиуса R равна 2*π*R, поэтому масса единицы длины проволоки равна m/(2*π*R). Разрежем кольцо мысленно пополам по линии X - X, проходящей через центр кольца. Теперь, чтобы кольцо не разлетелось, на каждый разрез каждой половинки должна действовать, взамен натяжения проволоки, равная этому натяжению сила T_н. Ввиду гибкости проволоки эти силы могут быть направлены только вдоль проволоки, т.е по касательной к окружности кольца и перпендикулярно к линии X - X. Проведём линию Y - Y перпендикулярно к линии X - X и параллельно силам T_н. Выделим в кольце отклонённую под углом α от линии Y - Y элементарную дугу с центральным углом dα; её длина соответственно равна R*dα, а масса dm = m/(2*π)*dα. На элементарную дугу действует вдоль радиуса кольца элементарная центробежная сила dF, равная: dF = dm*ω²*R = (m/(2*π))*R*ω²*dα (1); её проекция dT на направление сил T_н равна: dT = dF*COS(α) = ((m/(2*π))*R*ω²)*COS(α)*dα (2). Проинтегрировав (2) от α = -π до α = +π, получаем: T = (m/π)*R*ω² (3). Это суммарная сила, стремящаяся разорвать половинки; ей противодействуют 2 силы T_н, поэтому T_н = T/2 (4). Чтобы кольцо разорвалось, надо T_н ≥ T₁, откуда, с учётом (3) и (4): ω ≥ √(2*π*T₁/(m*R)).

Здравствуйте, Belmont!

Ещё одно решение задачи.

В равновесии суммарная работа всех сил при малых вариациях координат равна нулю, так как силы уравновешивают друг друга (принцип виртуальной работы). В данном случае силы натяжения уравновешивают центробежные силы.
При малом увеличении радиуса кольца работа центробежных сил для элемента кольца Delta m равна:
Delta A1 = (Delta m)*(omega^2)*R*(delta R).
Для всего кольца работа получается суммированием по всем элементам Delta m:
A1= m*(omega^2)*R*(delta R).
Работа сил натяжения равна произведению удлинения проволоки delta L = 2*Pi*(delta R) на силу натяжения Т:
A2 = 2*Pi*T*(delta R).
В равновесии A2 = A1:
m*(omega^2)*R*(delta R) = 2*Pi*T*(delta R).
При разрыве кольца T >= T1, откуда находим:
omega >= sqrt (2*Pi*T1/(m*R)).