Здравствуйте, Cкыбицкий Сергей Анатолийович!
Это подинтегральное выражение разлагается на 3 , а может быть и на 4 простейшие дроби которые мы и будем интегрировать . Ещё можно вычислить этот интеграл с помощью вычетов , если нужен именно второй метод - отпишитесь , я напишу и второй . Решение этого интеграла практически сводится к нахождению коэфициентов А , В , С и D .
INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = INT[A*dx/(x-4)^2] + INT[B*dx/(x-4)] + INT[(C*x+D)*dx/(x^2+16)]
Приняв за х=4 найдём коэфициенты А и В .
А = 1/(x^2+16) = 1/(16+16) = 1/32 ;
B = (1/(x^2+16))' = -2*x/(x^2+16)^2 = -2*4/(16+16)^2 = -8/(32*32) = -1/128 .
Теперь составим равенство с помощью которого легко найдём оставшиеся коєфициенты С и D , приведя все 3 интеграла к общему знаменателю .
A*(x^2+16) + B*(x-4)*(x^2+16) + (C*x+D)*((x-4)^2) = 1 . Раскрываем скобки и подставляем уже найденные коэфициенты А и В , далее групируем члены с одинаковыми степенями Х и помним что в результате должна остаться только 1 .
((x^2)/32) + (1/2) - ((x^3)/128) + ((x^2)/32) - (x/8) +(1/2) + C*(x^3) - 8*C*(x^2) + 16*C*x + D*(x^2) - 8*D*x + 16*D = 1 . Поймите правильно что я в уме разложил (х-4)^2 = (x^2) - 8*x + 16 .
Теперь обратим внимание на коэфициенты возле (х^3) , изначально в числителе есть только 1 и ни одного члена с какой бы то ни было степенью Х , поэтому в сумме коэфициенты возле любой степени Х должны равняться нулю , в том числе и Х в 3 степени , выводим члены с х^3 и их сумму приравниваем к нулю : -((x^3)/128) + C*(x^3) = 0 = (x^3)*(C-(1/128)) => C = 1/128 .
Далее находим члены с нулевой степенью Х ( то есть свободные члены , не перемноженые на Х , Х^0=1) : (1/2)+(1/2)+16*D=1 => D=0 . Из всех коэфициентов проще всего было определить D .
Теперь возвращаемся к начальному равенству и легко находим 3 неопределёёных интеграла , их сумма и будет решением заданого интеграла , только не забудем дописать константу С так как искомый интеграл неопределённый . Простые коэфициенты выносим за знак интеграла .
INT[A*dx/(x-4)^2] = (1/32)*INT[dx/(x-4)^2] = -1/(32*(x-4)) .
INT[B*dx/(x-4)] = (-1/128)*INT[dx/(x-4)] = (-1/128)*Ln[x-4] , тут логарифмическое выражение пишем в модуле , а не в скобках ...
INT[(C*x+D)*dx/(x^2+16)] = (1/128)*INT[(x+0)*dx/(x^2+16)] = (1/256)*INT[2*x*dx/(x^2+16)] =
= (1/256)*Ln[x^2+16] = (1/128)*Ln[sqrt(x^2+16)] , тут знак модуля не сильно нужен так как сумма квадратов будет больше нуля кроме случая комплексных чисел , где х больше 4i по модулю , і=sqrt(-1) .
sqrt - корень квадратный .
Ну вот и всё , теперь осталось только сложить полученные интегралы .
INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = (-1/(32*(x-4))) + (-1/128)*Ln[x-4] + (1/128)*Ln[sqrt(x^2+16)] + С , С=const .
Зная свойства логарифма можно немного сократить ответ .
ОТВЕТ: INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = (-1/(32*(x-4))) + (1/128)*Ln[(sqrt(x^2+16))/(x-4)] + C .
Р.S. Преподаватель будет счастлив узнать что в случае ненулевого коэфициента D у нас был бы ещё и 4 интеграл , который решился бы как (D/4)*arctg(x/4) .
Успехов .