Здравствуйте, Анна Андреевна! В обеих задачах мы имеем дело одновремённо с вращательным и поступательным движением Чтобы меньше возиться с переходом от вращательного движения к поступательному и обратно, умные люди придумали остроумный приём - вычислять «массу, приведенную к данному радиусу» вращающегося тела. Она определяется из уравнения: ω²*J = V²*M_r, где ω - угловая скорость тела, J - его момент инерции, V = ω*R - линейная скорость точек тела, находящихся на расстоянии R от оси вращения; отсюда получаем: M_r = J/R² (1). Если выражение "массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу" означает, что практически вся масса блока сосредоточена в его "ободе", т.е. на окружности, по которой уложен шнур, то можно рассматривать блок как "полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиуса R и массы m" (см. Википедия, Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей). Для этого случая J = m*R²; на основании (1) получаем, что приведенная к радиусу обода масса блока m_бr равна его фактической массе m_б. Составляем уравнения 2-го закона Ньютона для всех движущихся тел. Поскольку шнур нерастяжим, все 3 тела - блок и грузы m₁ и m₂ - движутся с одинаковым ускорением a в направлении, при котором "перетягивающий" больший груз m₂ движется вниз. Это же направление принимаем за положительное для всех сил. На блок действует разность сил натяжения шнура F₂ и F₁ по обе стороны блока, поэтому: m_б*a = F₂ - F₁ (2). На груз m₂ действует в направлении движения сила тяжести m₂*g, где g = 10 м/с² - ускорение свободного падения, а в противоположном - сила натяжения шнура F₂, поэтому: m₂*a = m₂*g - F₂ (3). Груз m₁ движется с ускорением a вверх, это же направление принимаем за положительное для действующих на него сил, поэтому: m₁*a = F₁ - m₁*g (4). Из (3) получаем: F₂ = m₂*(g - a) (5); аналогично из (4): F₁ = m₁*(g + a) (6). Подставив значения F₂ и F₁ из (5) и (6) в (3), после преобразований получаем: a = g*(m₂ - m₁)/(m₂ + m₁ + m_б) (7). Далее "по-простому" (все вычисления в уме): a = 10*(0.5 - 0.3)/(0.5 + 0.3 + 0.2) = 2 м/с²; из (6): F₁ = 0.3*(10 + 2) = 3.6 Н; из (5): F₂ = 0.5*(10 - 2) = 4 Н. Для проверки подставляем в (2): 0.2*2 = 4 - 3.6 = 0.4 Н. Если же понадобится решение "в общем виде", то следует подставить в (5) и (6) значение a из (7). Тогда, вынося g за скобки, получим: F₂ = m₂*g(1 - (m₂ - m₁)/(m₂ + m₁ + m_б)) (8) и F₁ = m₁*g(1 + (m₂ - m₁)/(m₂ + m₁ + m_б)) (9), а после приведения к общему знаменателю и приведения подобных: F₂ = m₂*g*(m_б + 2*m₁)/(m₂ + m₁ + m_б) (10) и F₁ = m₁*g*(2*m₂ + m_б)/(m₂ + m₁ + m_б) (11), откуда F₂ = 0.5*10*(0.2 + 2*0.3)/(0.5 + 0.3 + 0.2) = 4 Н и F₁ = 0.3*10*(2*0.5 + 0.2)/(0.5 + 0.3 + 0.2) = 3.6 Н. Таким образом, после всех выкладок, начиная с (8), получили тот же результат; зато не понадобилось вычислять a, т.е. умножать в уме 0.2 на 10!
Теперь к задаче2. Полная кинетическая энергия Э_к катящегося цилиндра равна сумме кинетической энергии поступательного движения Э_кп = M*V₀²/2 (1), где M - масса цилиндра и кинетической энергии вращательного движения Э_кв = J*ω²/2 (2), где J - его момент инерции, а ω - угловая скорость вращения. Поскольку для полого тонкостенного цилиндра, как уже выяснили, J = M*R² (3), где R - радиус цилиндра, а при качении без проскальзывания ω = V₀/R (4), подставив (3) и (4) в (2), получаем: Э_кв = M*V₀²/2 (5), откуда Э_к = Э_кп + Э_кв = M*V₀²/2 +V₀²/2 = M*V₀² (6). При закатывании на наклонную плоскость цилиндр поднимается на высоту h, приобретая потенциальную энергию Э_п = M*g*h (7), причём, по закону сохранения энергии Э_к = Э_п, т.е. M*V₀² = M*g*h (8), откуда h = V₀²/g (9). С другой стороны, h = S*SIN(α) (10), где S - путь, пройденный цилиндром по наклонной плоскости; сопоставив (10) и (9): S = V₀²/(g*SIN(α)) (11). Движение цилиндра по наклонной плоскости является равнозамедленным; при этом справедливо равенство: S = V₀*t/2 (12), где t - время движения до остановки. Решая совместно (11) и (12) относительно t, получим: t = 2*V₀/(g*SIN(α)) = 2*2*√(2)/10 ≈ 0.57 с.