Здравствуйте, Петров Виктор Иванович!

Решение.

Преобразуем второе выражение:
y = ((x - (3/2)*pi)*(7/11))^2 = ((7/11)^2)*(x - (3/2)*pi)^2 =
= (49/121)*(x - (3/2)*pi)^2.

Получили выражение вида y = a*(x - x0)^2, где a = 49/121,
x0 = (3/2)*pi. (1)

Известно, что график функции y = a*(x - x0)^2 представляет собой график квадратичной функции y = a*x^2, сдвинутый ВПРАВО на x0. График функции y = sin x также известен.

Введем в решение следующее соображение. Поскольку синус - периодическая функция с периодом, равным 2*pi, то интересующая нас площадь, ограниченная графиками функций y1 = sin x и y2 = (49/121)*(x - (3/2)*pi)^2, не изменится, если график функции y2 сдвинуть ВЛЕВО на 2*pi. В результате такая же площадь будет ограничена графиками функций y1 = sin x и y2* = (49/121)*(x + (1/2)*pi)^2.

Введем в решение еще одно соображение. Используем соотношение sin (X + (1/2)*pi) = cos X. Если сдвинуть график функции
y2* = (49/121)*(x + (1/2)*pi)^2 на (1/2)*pi ВПРАВО, то такая же площадь будет граничена графиками функций y1* = cos x и
y2** = (49/121)*x^2.

В результате выполненных преобразований графиков от исходной задачи пришли к тождественной ей задаче нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y1* = cos x и y2** =
= (49/121)*x^2. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Поэтому достаточно найти площадь, ограниченную правой ветвью параболы и правой частью косинусоиды, а затем полученный результат удвоить, чтобы получить искомую площадь.

Вершина параболы находится, как следует из выражения для y2**, в начале координат (x = a = 0). Величина a задает нижний предел интегрирования при использовании известной из курса математического анализа формулы для площади криволинейной трапеции. Ищем величину b, задающую верхний предел интегрирования и равную абсциссе точки пересечния косинусоиды y1* = cos x и параболы y2** = (49/121)*x^2.

Решаем уравнение
cos x = (49/121)*x^2 (1)
на отрезке [0; pi/2]. Это уравнение является трансцедентным, и задача нахождения его точного решения неразрешима в общем виде. Поэтому воспользуемся приближенными вычислениями. Будем искать нуль функции y = cos x - (49/121)*x^2

Если построить график функции, то можно достаточно точно отделить корень уравнения (1), а затем уточнить его значение. Применим для отделения корня (уточнения его значения) перебор значений x:
y(0) = cos 0 - (49/121)*0^2 = 1 - 0 = 1 > 0,
y(pi/2) = cos (pi/2) - (49/121)*(pi/2)^2 = 0 - (49/121)*(1/4)*(pi^2) =
= - 0,9992 < 0,
y(pi/4) = cos (pi/4) - (49/121)*(pi/4)^2 = 2/sqrt 2 - (49/121)*
*(1/16)*(pi^2) = 0,7071 - 0,2498 = 0,4573 > 0,
y(pi/3) = cos (pi/3) - (49/121)*(pi/3)^2 = 1/2 - (49/121)*(1/9)*(pi^2) =
= 0,5 - 0,4441 = 0,0559 > 0.

Производная функции y‘ = -sin x - (98/121)*x отрицательна на отрезке [0; pi/2], а сама функция непрерывна и монотонно убывает на этом отрезке. Значит, она обращается в нуль в единственной точке этого отрезка, являющейся корнем уравнения (1). За уточненный отрезок принимаем [pi/4; pi/3], задаемся точностью eps = 0,001 и методом половинного деления ищем корень уравнения (1):

a = pi/3, b = pi/2, c = (a + b)/2 = (pi/3 + pi/2)/2 = (5/12)*pi = 1,3090,
y(1,3090) = cos 1,3090 - (49/121)*(1,3090)^2 = 0,2588 - 0,6939 =
= -0,4351 < 0;

a = pi/3 = 1,0472, b = 1,3090, c = (1,0472 + 1,3090)/2 = 1,1781,
y(1,1781) = cos 1,1781 - (49/121)*(1,1781)^2 = 0,3827 - 0,5621 =
= -0,1794 < 0;

a = 1,0472, b = 1,1781, c = (1,0472 + 1,1781)/2 = 1,1127,
y(1,1127) = cos 1,1127 - (49/121)*(1,1127)^2 = 0,4422 - 0,5014 =
= -0.0592 < 0;

a = 1,0472, b = 1,1127, c = (1,0472 + 1,1127)/2 = 1,0800,
y(1,0800) = cos 1,0800 - (49/121)*(1,0800)^2 = 0,4713 - 0,4723 =
= -0,0010 < 0;

a = 1,0472, b = 1,0800, c = 1,0636,
y(1,0636) = cos 1,0636 - (49/121)*(1,0636)^2 = 0,4857 - 0,4581 =
= 0,0276 > 0;

a = 1,0636, b = 1,0800, c = (1,0636 + 1,0800)/2 = 1,0718,
y(1,0718) = cos 1,0718 - (49/121)*(1,0718)^2 = 0,4785 - 0,4652 =
= 0,0133 > 0;

a = 1,0718, b = 1,0800, c = (1,0718 + 1,0800)/2 = 1,0759,
y(1,0759) = cos 1,0759 - (49/121)*(1,0759)^2 = 0,4749 - 0,4688 =
= 0,0061 > 0;

a = 1,0759, b = 1,0800, c = (1,0759 + 1,0800)/2 = 1,0780,
y(1,0780) = cos 1,0780 - (49/121)*(1,0780)^2 = 0,4731 - 0,4706 =
= 0,0025 > 0;

a = 1,0780, b = 1,0800, c = (1,0780 + 1,0800)/2 = 1,0790,
y(1,0790) = cos 1,0790 - (49/121)*(1,0790)^2 = 0,4722 - 0,4715 =
= 0,0007 > 0..

Так как 1,0800 - 1,0790 = 0,001 = eps = 0,001, то требуемая точность вычислений достигнута. Поэтому принимаем значение искомого корня равным x = 1,079.

Итак, графики функций y1* = cos x и y2** = (49/121)*x^2 пересекаются в точке с абсциссой x = 1,079, следовательно, b = 1,079, и искомая площадь
S = 2*Int (0; 1,079) (cos x - (49/121)*x^2)*dx = 2*(sin x - (49/121)*
*(1/3)*x^3) |(0; 1,079) = 2*(sin 1,079 - (49/363)*
*(1,079)^3) - (sin 0 - 0)) = 2*(0,881 - 0,170) = 2*0,711 = 1,42 (кв. ед.).

Ответ: 1,42 (кв. ед.).

С уважением.

P. S. Полученное значение наводит на мысль о том, что S = sqrt 2 - точное значение площади...