Здравствуйте, meg17!

Решения задач в приложении.

Вероятно, в условиях 1-ой задачи есть ошибка, так как для
указанных вами данных решение не существует.
Почему это так, достаточно подробно описано.
Решение есть, например, для неподвижной точки (-4,0),
которое и приведено.

P.S. Кое-где использовались матричные обозначения.
Если с этим проблемы, то не трудно переписать все без матриц,
можете обратиться за этим по местной почте.


Приложение:
Задача 1.Движение плоскости - это афинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками.Оно может быть получено как результат последовательного выполнения поворота и сдвига.Если точка с радиус-вектором r0 остается на месте, то, очевидно, это движение должно быть поворотом плоскости с центром в точке r0. Такой поворот можно записать в виде:(1) r‘ = A*(r-r0)+r0,Действительно, при r = r0 имеем r‘=r0.Матрица поворота плоскости А, как известно, равна:[ cos(phi) -sin(phi)][ sin(phi) sin(phi)],phi - угол поворота в полож. направлении (против часовой стрелки).В задаче сказано, что при движении плоскости прямая x+y+2=0 должна перейти в прямую x-y+6=0.Нетрудно заметить, что прямые образуют углы 45 градусов с координатными осями и 90 градусов между собой. (Первая прямая пересекает оси координат в точках (-2,0) и (0,-2), вторая - в точках (-6,0) и (0,6).Для наглядности рекомендуется выполнить чертеж.)Чтобы первая прямая перешла во вторую, ее нужно повернуть на 90 градусов по или против часовой стрелки;направление поворота зависит от точки, вокруг которой он производится. (В общем случае угол phi - это один из двух углов между прямыми.) Так как движение сохраняет растояние между точками, то одна прямая может перейти в другую только при условии,что расстояния этих прямых до центра вращения равны. Геометрическое место точек, имеющих равные расстояния до пересекающихся прямых - это биссектрисы углов, которые прямые образуют при пересечении.То есть, неподвижная точка (центр вращения) должна лежать на одной из этих биссектрис.Прямые x+y+2=0 и x-y+6=0 пересекаются в точке (-4,2), а биссектрисы имеют уравненияx=-4 и y=2. Точка (4,0) не лежит ни на одной из этих биссектрисс. Поэтому движение, оставляющее на месте эту точку и переводящее 1-ую прямую во 2-ую, невозможно.Решение существует, напрмер, для точки (-4,0), лежащей на биссектрисе x=-4. В этом случае phi = 90 градусов (поворот против часовой стрелки, видно из чертежа), и преобразование плоскости можно записать так:[x‘] = [0 -1][x+4] + [-4][y‘] [1 0][y ] [ 0].Выполняя умножение матрицы на вектор и складывая векторы, находим искомое преобразование:х‘ = -y - 4, y‘ = x + 4.Проверим:1) подстановка x=-4, y=0 дает x‘=-4, y‘=0, то есть точка (-4,0) неподвижна.2) После преобразования уравнение прямой должно иметь вид:x‘-y‘+6=0. Подставляем сюда x‘ и y‘ и убеждаемся, что до преобразованияуравнение прямой действительно было x+y+2 = 0.Задача 2.Гомотетия - это преобразование подобия, или равномерного растяжения или сжатияплоскости относительно выбранного центра, который остается неподвижным.Такое преобразование можно записать в виде(1) r‘ = A*(r-r0)+r0,где r0 - радиус-вектор центра гомотетии, а матрица A имеет вид[ k 0 ][ 0 k ],где k - коэффициент растяжения (|k|>1), или сжатия (|k|<1), если k < 0, то сжатие или растяжениесопровождается отражением относительно центра, а при k=-1 имеет место только отражение без изменения размеровфигур в плоскости. При k = 1 имеем тождественное преобразование плоскости. В координатах уравнение (1) запишется в виде:x‘ = k*(x - x0) + x0,y‘ = k*(y - y0) + y0.В задаче дано, что радиус окружности не изменяется, а центр (1,1) переходит в (4,4).Из неизменности радиуса окружности следует, что k = -1 (случай k=1, очевидно, исключается).Для нахождения центра подставим (x‘,y‘)=(4,4), (x,y)=(1,1), k=-1:4 = -1*(1-x0)+x0, 4 = -1*(1-y0)+y0,откуда находим (x0,y0) = (5/2,5/2). Подставляя x0, y0 в уравнения преобразования, получим искомое преобразование плоскости:x‘ = -x + 5,y‘ = -y + 5.