Здравствуйте, SNICKERS!
Воспользуемся законом сохранения энергии.
Ep(max)=Ek(max)=Ep+Ek (1)
Ek=mV^2/2
Ep=kx^2/2, где k-коэффициент пропорциональности между возвращающей силой и смещением (жесткость - в случае пружинного маятника, для математического - k=mg/l)
Ep(max)=kA^2/2 (2)
Ek(max)=mV(max)^2/2
kA^2/2=mV(max)^2/2
V(max)=A*sqrt(k/m)

Запишем для x1 и x2 закон сохранения энергии
kx1^2/2+mV1^2/2=kx2^2/2+mV2^2/2
kx1^2/2-kx2^2/2=mV2^2/2-mV1^2/2
k(x1^2-x2^2)=m(V2^2-V1^2)
k/m=(V2^2-V1^2)/(x1^2-x2^2) (3)

Найдем A из (1) и (2).
kA^2/2=kx1^2/2+mV1^2/2 (4)
из (3) m=k(x1^2-x2^2)/(V2^2-V1^2) и подставим в (4)
kA^2/2=kx1^2/2+k*V1^2(x1^2-x2^2)/2(V2^2-V1^2)
A=sqrt(x1^2+V1^2(x1^2-x2^2)/(V2^2-V1^2)) (5)

Найдем максимальную скорость (5)*(3)
V(max)=A*sqrt(k/m)=sqrt(x1^2+V1^2(x1^2-x2^2)/(V2^2-V1^2))*sqrt((V2^2-V1^2)/(x1^2-x2^2))
Внесем под один знак корня и приведем к общему знаменателю 1 дробь
V(max)=sqrt((x1^2*(V2^2-V1^2)+V1^2(x1^2-x2^2))/(V2^2-V1^2)*((V2^2-V1^2)/(x1^2-x2^2)))
V(max)=sqrt((x1^2*V2^2-x1^2*V1^2+V1^2*x1^2-V1^2*x2^2)/(x1^2-x2^2))
V(max)=sqrt((x1^2*V2^2-x2^2*V1^2)/(x1^2-x2^2)) - кажется все.

Здравствуйте, SNICKERS!
В данной задачке основная трудность лежит в математической плоскости, а именно - в преобразовании тригонометрических функций. Дествительно, уравнение гармонических колебаний имеет вид : x = Xm sin (fi), где x - отклонение системы от положения равновесия в данный момент времени, Xm - максимальное отклонение (амплитуда колебаний), fi = wt - мнгновенное значение фазы колебаний (w - циклическая частота колебаний, t - данный момент времени). Тогда скорость - первая производная от координаты, записывается в виде : v = Vm cos (fi). Теперь самое интересное. Запишем скорость в первый заданный момент : v1 = Vm cos (fi1). Фазу найдём из уравнения координаты : fi1 = arcsin (x1/Xm). Учитывая, что cos (arcsin a) = sqrt (1 - a^2), где sqrt - корень квадратный, имеем : v1 = Vm sqrt (1 - (x1/Xm)^2). Xm найдём из уравнения для координаты в момент времени t2 : Xm = x2 / sin (fi2), fi2 найдём из уравнения для скорости в момент времени t2 : fi2 = arccos (v2/Vm). В результате подстановки получим такое хитрое уравнение : v1 = Vm * sqrt [1 - (x1^2/x2^2)*(1 - (v2^2/Vm^2))]. После его решения относительно величины Vm получим такой ответ : Vm = sqrt [ (v1x2 - v2x1)*(v1x2 + v2x1) / (x2 - x1)*(x2 + x1)].