Здравствуйте, Николай Фаворисович Басманов!

Подробно об исследовании функций рассказывается <a href=http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/kiselev1/node62.html>например здесь</a>
а здесь <a href=http://i005.radikal.ru/0712/52/33a75e5450f0.jpg>график вашей функции</a>

<b>1) Область определения. </b>
Здесь следует учесть только одно ограничение - на 0 делить нельзя => x принадлежит (-оо, -0.5), (-0.5, 0.5), (0.5, +oo)
в точках х=±0.5 пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу: при x->-0.5- (слева) y->-oo, при x->-0.5+ (справа) y->+оо, при x->0.5- (слева) y->+oo, при x->0.5+ (справа) y->-оо => это точки разрыва 1го рода, неустранимые.
<b>2) Особые свойства.</b>
y(-x)=y(x) => функция четная
Т.к. у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков, то наша функция непериодическая.
<b>3) Асимптоты. </b>
Т.к. наша функция - элементарная, то на всех интервалах области определения f(x) непрерывна, и асимптоты могут появиться только на границах интервалов.
При х->-оо y-> 1, это - горизонтальная асимптота (|f(x) - 1| -> 0, и луч (-оо, -0.5) целиком содержится в области определения)
при х->+оо y-> 1, то есть асимптота при х->+оо у этого графика совпадает с асимптотой при х->-оо
При х->±0.5 y -> ±oo, то есть х=±0.5 - вертикальные асимптоты нашей функции.
<b>4) Точки пересечения графика с осью Oy</b>: х=0, y = 2
<b>5) Нахождение промежутков монотонности. </b>
y‘ = (-8x(1-4x²) + 8x(2-4x²))/(1-4x²)² = 8x/(1-4x²)²
y‘ = 0 x = 0, это точка локального экстремума.
y‘ < 0 на интервале х принадлежит (-оо, 0) - на этом интервале функция убывает.
y‘ > 0 на интервале х принадлежит (0, +oo) - на этом интервале функция возрастает.
<b>6) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости.</b>
y‘‘ = (8((1-4x²)² + 2(1-4x²)(8х)*8х)/(1-4x²)^{<small>4</small>} = 8(1+12x²)/(1-4x²)^{<small>3</small>}
y‘‘ нигде не равна 0 => точек перегиба нет.
y‘‘ < 0 на интервалах х принадлежит (-оо, -0.5), (0.5, +оо) - на этих интервалах функция выпукла
y‘‘ > 0 на интервалах х принадлежит (-0.5, 0.5) - на этом интервале функция вогнута.
<b>7) пересечение с асимптотами.</b>
с асимптотами график не пересекается, т.к. одна асимптота - горизонтальная, y = 1, а наша функция не равна 1 ни в одной точке, и две других асимптоты - вертикальные, проходят через точки разрыва.