Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 106025
19.10.2007, 09:25
0.00 руб.
0 1 1
Образование
даны четыре точки А1(1;-2;7), А2(4;2;10), А3(2;3;5), А4(5;3;7)
составить уравнение:
1). плоскости А1А2А3
2). прямой А1А2
3). прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3
4). прямой А3N, параллельной прямой А1А2
5) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2
вычислить:
1). площадь грани А1А2А3
2). объем пирамиды А1А2А3А4
3).угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 пирамиды
4). координаты точки пересечения прямой А4М с гранью А1А2А3
угол между прямыми А1А2 и А1А3

Обсуждение

Неизвестный
19.10.2007, 12:35
общий
это ответ
Здравствуйте, Ivanob dima!
1. <b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b> = (3;4;3), <b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b> = (1;5;-2).
Чтобы найти уравнение плоскости A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>, вычислим определитель матрицы (по правилу треугольника)
(x-1 y+2 z-7)
(3 4 3)
(1 5 -2)
и приравняем его нулю. Получим:
A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>: 23x – 9y – 11z + 36 = 0.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки, вычисляется в одну строку:
A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>: (x-1)/3 = (y+2)/4 = (z-7)/3.

3. Т.к. A<sub>4</sub>M ⊥ A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>, то нормальный вектор (23;-9;-11) плоскости будет направляющим вектором прямой.
A<sub>4</sub>M: (x-5)/23 = (y-3)/(-9) = (z-7)/(-11).

4. Т.к. прямые A<sub>3</sub>N и A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> параллельны, то у них общий направляющий вектор <b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b> = (3;4;3).
A<sub>3</sub>N: (x-2)/3 = (y-3)/4 = (z-5)/3.

5. Т.к. искомая плоскость перпендикулярна прямой A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>, то её нормальным вектором будет <b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b> = (3;4;3).
Получаем уравнение:
3(x-5) + 4(y-3) + 3(z-7) = 0,
3x + 4y + 3z – 48 = 0.

1. Площадь треугольника A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub> равна половине модуля векторного произведения векторов <b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b> и <b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b>.
[<b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b>,<b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b>] = (-23,9,11).
S = sqrt(731)/2.

2. Объём пирамиды A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>A<sub>4</sub> равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов <b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b>, <b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b>, <b>A<sub>1</sub>A<sub>4</sub></b>. Чтобы его найти, вычислим модуль определителя матрицы,
(3 4 3)
(1 5 -2)
(4 5 0)
составленной из координат этих векторов, и разделим на шесть:
V = 1/6 * |3*5*0 + 4*(-2)*4 + 3*1*5 – 3*5*4 – 4*1*0 – 3*(-2)*5| = 47/6.

3. Угол α между A<sub>1</sub>A<sub>4</sub> и A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub> равен углу между векторами <b>A<sub>1</sub>A<sub>4</sub></b> = (4;5;0) и <b>n</b> = (23;-9;-11).
|<b>A<sub>1</sub>A<sub>4</sub></b>| = sqrt(4² + 5² + 0²) = sqrt(41),
|<b>n</b>| = sqrt(23² + (-9)² + (-11)²) = sqrt(731),
<b>A<sub>1</sub>A<sub>4</sub></b>*<b>n</b> = 4*23 + 5*(-9) + 0*(-11) = 47;
cosα = <b>A<sub>1</sub>A<sub>4</sub></b>*<b>n</b>/(|<b>A<sub>1</sub>A<sub>4</sub></b>|*|<b>n</b>|) = 47/sqrt(29971),
∠α = arccos(47/sqrt(29971)).

4. Найдём точку пересечения прямой A<sub>4</sub>M и плоскости A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>. Решим систему уравнений
(x-5)/23 = (y-3)/(-9) = (z-7)/(-11),
23x – 9y – 11z + 36 = 0.
Ответ: (3402/731; 2292/731; 5238/731).

5. Обозначим искомый угол β.
|<b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b>| = sqrt(3² + 4² + 3²) = sqrt(34),
|<b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b>| = sqrt(1² + 5² + (-2)²) = sqrt(30),
<b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b>*<b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b> = 17,
cosβ = <b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b>*<b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b>/|<b>A<sub>1</sub>A<sub>2</sub></b>|*|<b>A<sub>1</sub>A<sub>3</sub></b>| = 17/sqrt(1020) = 17/(2*sqrt(255)),
∠β = arccos(17/(2*sqrt(255))).
Форма ответа